Fugu-MT 論文翻訳(概要): Explicit Matrices over $\mathbb Z_2$ with CNOT and Row Complexity $4n-\mathrm{o}(n)$ and Local Logic Gates

論文の概要: Explicit Matrices over $\mathbb Z_2$ with CNOT and Row Complexity $4n-\mathrm{o}(n)$ and Local Logic Gates

arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.28598v1
Date: Thu, 30 Jul 2026 17:48:15 GMT
ステータス: 翻訳完了
システム内更新日: 2026-07-31 21:37:00.707167
Title: Explicit Matrices over $\mathbb Z_2$ with CNOT and Row Complexity $4n-\mathrm{o}(n)$ and Local Logic Gates
Title（参考訳）: CNOTおよびRow Complexity 4n-\mathrm{o}(n)$および局所論理ゲートを持つ$\mathbb Z_2$上の明示行列
Abstract要約: 我々は、CNOT および行の複雑さが少なくとも 4n-texto(n)$ であるような、$mathbb Zn$ 上の可逆な$ntimes n$行列の明示的な族を提示する。同じ複雑さの下位境界は、CNOTゲートを任意の局所線形論理ゲートに置き換える強い計算モデルである。
参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
Abstract: In this article, we present an explicit family of invertible $n\times n$ matrices over $\mathbb Z_2$ whose CNOT and row complexity is at least $4n-\text{o}(n)$; equivalently, reducing these matrices to the identity requires at least $4n-\text{o}(n)$ elementary row operations. Moreover, the same complexity lower bound holds in the stronger computational model where the CNOT gates are replaced by arbitrary local linear logic gates, namely arbitrary invertible linear transformations acting on pairs of coordinates. Let $G_n$ denote the permutation group generated by local logic gates acting on the set of binary strings of length $n$. We prove that $G_n$ is naturally isomorphic to the group of all invertible affine transformations of the vector space $\mathbb Z_2^n$, thus reducing the problem of estimating the quantum complexity of permutations in $G_n$ to the row reduction complexity of invertible matrices over $\mathbb Z_2$. As an application, we show that the permutations associated with our explicit matrices have quantum complexity at least $4n-\text{o}(n)$.
Abstract（参考訳）: 本稿では、CNOTと行の複雑性が少なくとも4n-\text{o}(n)$であるような、可逆な$n\times n$行列を$\mathbb Z_2$上に明示する。さらに、CNOTゲートを任意の局所線形論理ゲート、すなわち座標対に作用する任意の可逆線型変換に置き換える強い計算モデルにおいて、下界の複雑さは成り立つ。 G_n$は、長さ$n$のバイナリ文字列のセットに作用するローカル論理ゲートによって生成される置換群を表す。我々は、$G_n$ がベクトル空間 $\mathbb Z_2^n$ のすべての可逆アフィン変換の群に自然同型であることを証明する。応用として、明示行列に関連する置換は、少なくとも 4n-\text{o}(n)$ の量子複雑性を持つことを示す。

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