論文の概要: Pyramidal Width Can Increase Under Vertex Insertion

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.29555v1
• Date: Fri, 31 Jul 2026 15:48:01 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-08-03 14:29:40.786877
• Title: Pyramidal Width Can Increase Under Vertex Insertion
• Title（参考訳）: 鉛直挿入でピラミッド幅が増大する可能性
• Abstract要約: 挿入はピラミッド幅を$sqrt1059/532approx 1.410886779で増加させる。 この証明はピラミッド幅と顔距離の等価性を使用し、整数支持超平面により顔格子を認証し、有限理計算により顔距離を評価する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.1624454100511275
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Lacoste-Julien and Jaggi conjectured in 2015 that the pyramidal width of a polytope cannot increase when a vertex is added, provided that every old point remains a vertex. We give an exact counterexample with six integer points in $\R^3$. For \[ P=\conv\{v_0,\ldots,v_4\},\qquad Q=\conv\{v_0,\ldots,v_5\}, \] where \[ \begin{aligned} v_0&=(-1,-3,-1), & v_1&=(3,2,-2), & v_2&=(0,2,1),\\ v_3&=(-1,-3,3), & v_4&=(-2,0,1), & v_5&=(-1,0,-2), \end{aligned} \] all five vertices of $P$ remain vertices of $Q$, but \[ \PWidth(P)^2=\frac{48}{353} \quad\text{and}\quad \PWidth(Q)^2=\frac{36}{133}. \] Thus vertex insertion increases pyramidal width by the factor $\sqrt{1059/532}\approx 1.410886779$. The proof uses the equivalence between pyramidal width and facial distance, certifies both face lattices by integer supporting hyperplanes, and evaluates every facial distance by a finite rational calculation. A dependency-free exact verifier accompanies the paper.
• Abstract（参考訳）: La Coste-Julien と Jaggi は2015年に、全ての古い点が頂点のままであれば、頂点が加わったときにポリトープのピラミッドの幅が増加することはないと推測した。 6つの整数点が$\R^3$の正確な反例を与える。 P=\conv\{v_0,\ldots,v_4\},\qquad Q=\conv\{v_0,\ldots,v_5\}, \] where \[ \begin{aligned} v_0&=(-1,-3,-1), & v_1&=(3,2,-2), & v_2&=(0,2,1),\ v_3&=(-1,-3,3), & v_4&=(-2,0,1), & v_5&=(-1,0,-2), \end{aligned} \] すべての$P$の5つの頂点は、$Q$の頂点のままである。 このように、頂点挿入は、$\sqrt{1059/532}\approx 1.410886779$でピラミッド幅を増大させる。 この証明はピラミッド幅と顔距離の等価性を使用し、整数支持超平面により顔格子を認証し、有限理計算により顔距離を評価する。 依存関係のない正確な検証器は、その紙に付随する。

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