論文の概要: Tropical Algebraic Geometry for Neuronal Representations: An Arakelov-Green Measure Based Descriptor for Graph Learning

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2608.04460v1
• Date: Wed, 05 Aug 2026 05:34:50 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-08-06 14:48:43.730674
• Title: Tropical Algebraic Geometry for Neuronal Representations: An Arakelov-Green Measure Based Descriptor for Graph Learning
• Title（参考訳）: 神経表現のための熱帯代数的幾何学--Arakelov-Green Measure Based Descriptorによるグラフ学習
• Authors: Yuyang Zhang, Weihan Xu, Xuehai Zhou, Shucheng Cao, Qihuang Zhang,
• Abstract要約: 本稿では,熱帯代数幾何学に基づくトレーニング不要な幾何学的事前手法を提案する。 空間木を熱帯ヤコビアンへの埋め込みに適した巡回計量グラフに変換する。 離散的なアラケロフ・グリーン測度は、グラフラプラシアンの一般化された逆数を通して閉じた形で計算され、この被覆上の不定分極距離を除いた固有経路計量に正確に分解されることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 14.563432689352084
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: The quantitative analysis of 3D neuronal morphologies requires capturing both graph topology and spatial geometry. Current message-passing Graph Neural Networks (GNNs) are bounded by the 1-Weisfeiler-Lehman (1-WL) test, limiting their ability to capture cycles induced by spatial proximities. To address this, we propose a training-free geometric prior based on tropical algebraic geometry. We apply the recently established tropical Abel-Jacobi transform and polarization distances to machine learning on tree-structured data. We introduce a structural transformation pipeline, comprising cycle space augmentation and quotient space construction, to convert spatial trees into cyclic metric graphs suitable for embedding into the Tropical Jacobian. Computing exact tropical polarization distances requires solving the NP-Hard Closest Vector Problem (CVP) on integer lattices. Instead of relying on explicit approximations with quantization errors (e.g., Babai's rounding), we adopt a continuous relaxation on the universal cover of the Albanese torus. We show that the discrete Arakelov-Green measure, computed in closed form via the graph Laplacian's generalized inverse, decomposes exactly into the intrinsic path metric minus the unquantized polarization distance on this cover, avoiding integer lattice searches. This metric yields two descriptors: eigenvectors provide node-level structural coordinates, and the permutation-invariant eigenvalue spectrum provides a graph-level signature. On the BREC benchmark, the eigenvector formulation demonstrates expressivity beyond the 1-WL limit. On 3D morphology datasets (ACT-4, JML-4, BIL-6), the spectrum seamlessly integrates into standard architectures (VAEs, GNNs, Tree-LSTMs) without additional trainable parameters, outperforming explicit lattice approximations and improving classification accuracy over existing spatial models.
• Abstract（参考訳）: 3次元神経形態の定量的解析では、グラフトポロジーと空間幾何学の両方を捉える必要がある。 現在のメッセージパスグラフニューラルネットワーク(GNN)は、1-Weisfeiler-Lehman (1-WL)テストによってバウンドされ、空間的近接によって引き起こされるサイクルをキャプチャする能力を制限する。 これを解決するために,熱帯代数幾何学に基づくトレーニング不要な幾何学的前駆体を提案する。 最近確立された熱帯アベル・ヤコビ変換と偏光距離を木構造データの機械学習に適用する。 本稿では,空間木を熱帯ヤコビアンへの埋め込みに適した循環距離グラフに変換するために,周期空間拡大と商空間構築を含む構造変換パイプラインを提案する。 正確な熱帯分極距離を計算するには、整数格子上でNP-Hard Closest Vector Problem (CVP) を解く必要がある。 量子化誤差を伴う明示的な近似(例えば、ババイの丸め)に頼る代わりに、アルバニアトーラスの普遍被覆に連続的な緩和を採用する。 離散的なアラケロフ・グリーン測度は、グラフラプラシアンの一般化された逆数を通して閉じた形で計算され、この被覆上の不定分極距離を除いた固有経路計量に正確に分解され、整数格子探索が避けられることを示す。 固有ベクトルはノードレベルの構造座標を与え、置換不変固有値スペクトルはグラフレベルのシグネチャを与える。 BRECベンチマークでは、固有ベクトルの定式化は1-WL限界を超える表現性を示す。 3次元形態データセット(ACT-4, JML-4, BIL-6)では、スペクトルはトレーニング可能なパラメータを追加せずに標準アーキテクチャ(VAEs, GNNs, Tree-LSTMs)にシームレスに統合され、明示的な格子近似よりも優れ、既存の空間モデルよりも分類精度が向上する。

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