論文の概要: Perfect state transfer and Cayley presentations

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2608.20476v1
• Date: Thu, 20 Aug 2026 18:08:45 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-08-24 14:49:32.129106
• Title: Perfect state transfer and Cayley presentations
• Title（参考訳）: 完全状態移動とケイリープレゼンテーション
• Abstract要約: ケイリーグラフ上の完全状態移動は、状態移動はグラフの性質であり、群の性質ではないという観点から研究する。 指数 2 のアーベル部分群を持つ群のケイリーグラフは、3つの仮説のいずれかの下のアーベル群のケイリーグラフであることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We study perfect state transfer on Cayley graphs from the point of view that state transfer is a property of a graph and not of a group. This paper is a bridge between the classical question about isomorphic Cayley graphs of non-isomorphic groups and quantum walks on graphs. We show that a Cayley graph of a group with an abelian subgroup of index two is a Cayley graph of an abelian group under any one of three hypotheses, two drawn from the theory of isomorphic Cayley graphs. A statement of the same kind holds for extraspecial groups: every Cayley graph of an extraspecial $p$-group of order $p^{2n+1}$ with a conjugacy-closed connection set is a Cayley graph of $Z_p^{2n+1}$. From these results we deduce that every explicit construction of perfect state transfer in the six papers we survey, on dihedral, dicyclic, generalized dihedral, $V_{8n}$ and extraspecial $2$-groups, is a non-abelian presentation of an abelian Cayley graph. Moreover, we show that a non-abelian group with an abelian subgroup of index two admits a connected Cayley graph with perfect state transfer if and only if its order is divisible by four. Genuinely non-abelian examples do exist. We prove that, for every odd prime power $q\ge 5$, the $SL(2,q)$ graph of Pantangi and Sin, which they showed to admit perfect state transfer, is a Cayley graph of no abelian group; to our knowledge, this is the first infinite family of Cayley graphs with perfect state transfer provably admitting no abelian Cayley presentation. We also construct an infinite family of Cayley graphs with peak state transfer and determine all regular subgroups of the automorphism group of every member. An appendix records a census of the connected vertex-transitive graphs with perfect state transfer on at most $30$ vertices.
• Abstract（参考訳）: ケイリーグラフ上の完全状態移動は、状態移動はグラフの性質であり、群の性質ではないという観点から研究する。 この論文は、非同型群の同型ケイリーグラフに関する古典的な問題と、グラフ上の量子ウォークの間の橋渡しである。 指数 2 のアーベル部分群を持つ群のケイリーグラフは、3つの仮説のいずれかの下のアーベル群のケイリーグラフであり、2つは同型ケイリーグラフの理論から導かれる。 位数$p^{2n+1}$の特殊でない$p$-群のケイリーグラフは、共役閉連結集合を持つすべてのケイリーグラフは、$Z_p^{2n+1}$のケイリーグラフである。 これらの結果から、二面体、二環体、一般化二面体、$V_{8n}$および特別な2$-群に関する6つの論文における完全状態移動の明示的な構成は、アーベルケイリーグラフの非アーベル的表現である。 さらに、指数 2 のアーベル部分群を持つ非アーベル群が完全状態移動を持つ連結ケイリーグラフを許すことを示す。 真に非アーベル的な例が存在する。 任意の奇素数$q\ge 5$に対して、パンタンギとシンの$SL(2,q)$グラフは完全状態移動を認めており、アーベル群のケイリーグラフではないことを証明している。 また、ピーク状態移動を持つケイリーグラフの無限族を構築し、すべてのメンバーの自己同型群の正則部分群を決定する。 付録は接続された頂点遷移グラフの国勢調査を記録し、最低でも30$の頂点上で完全な状態転送を行う。

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