論文の概要: Recovering Weighted Tangent Geometry from a Single-Scale Score Field
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2608.22334v1
- Date: Sun, 23 Aug 2026 10:07:12 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-08-25 13:29:43.722488
- Title: Recovering Weighted Tangent Geometry from a Single-Scale Score Field
- Title（参考訳）: シングルスケールスコア場からの重み付きタンジェント形状の復元
- Abstract要約: 1つの雑音レベルのスコア場が、分岐中心と等質度$d$が未知のとき、重み付けされた接地幾何を決定することを示す。
また、正の$C0,$密度を持つ有限平面$C1,$分岐に対して、有限ノイズスコアから接モデルへの$O()$収束を証明する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 5.081899241065076
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Near a smooth data manifold, one tangent space summarizes local geometry. At a branch point, the corresponding first-order object is instead a measure over tangent directions, whose normalized masses record the local share of each branch under the chosen data measure. We ask whether a score field at one noise level determines this weighted tangent geometry when the branch center and homogeneity degree $d$ are unknown. In this tangent-measure model, $d$ is the local measure dimension. Gaussian smoothing of a homogeneous tangent measure satisfies an Ornstein--Uhlenbeck eigenfunction equation. Its weak form turns score values---without score derivatives---into a linear system for the center and homogeneity degree, with an explicit rank condition and perturbation bound. After this calibration, the tangential score on one sphere is the spherical log-gradient of a scalar Gaussian--cone transform. Integration recovers that transform up to scale, and all its spherical-harmonic multipliers are positive. Thus one exact shell identifies the normalized angular measure in every ambient dimension $D\geq2$. For at most $K$ positive rays, moments through degree $2K-1$ constructively recover count, directions, and weights in arbitrary dimension. Any fixed observation scheme needs at least $KD-1$ scalar tangential components. In the plane, degree $K$ is both sufficient and necessary, and we give quantitative finite-query certificates. For finite planar $C^{1,β}$ branches with positive $C^{0,β}$ densities, we prove $O(σ^β)$ convergence from the finite-noise score to its tangent model. In controlled experiments, 50k-step training lowers validation normalized-score error across four geometries yet raises angular-moment error, separating ordinary score fit from geometry recovery.
- Abstract（参考訳）: 滑らかなデータ多様体の近くで、1つの接空間は局所幾何学を要約する。
分岐点において、対応する一階のオブジェクトは、選択されたデータ測度の下で各ブランチの局所的な共有を正規化された質量が記録する、接する方向の測度である。
ある雑音レベルにおけるスコア場が、分岐中心と等質度$d$が未知のとき、重み付けされた接幾何学を決定するかどうかを問う。
この接測度モデルでは、$d$ は局所測度次元である。
等質タンジェント測度のガウス滑らか化は、オルンシュタイン-ウレンベック固有関数方程式を満たす。その弱形式は、スコアの値を変えて------------------中心と等質度に対する線形系に、-----------条件条件と摂動境界を持つ。
このキャリブレーションの後、ある球面上の接スコアはスカラーガウス-コーン変換の球面対数勾配である。
積分はスケールに変換され、球-高調波乗算器はすべて正である。
したがって、1つの正確なシェルは、すべての周囲次元$D\geq2$における正規化角測度を識別する。
最大で$K$の正光線に対して、次数2K-1$のモーメントは任意の次元のカウント、方向、重みを構成的に回復する。
任意の固定観測スキームは、少なくとも$KD-1$のスカラー接点成分を必要とする。
平面上では次数$K$は十分かつ必要であり、定量有限クエリ証明を与える。
正の$C^{0,β}$密度を持つ有限平面$C^{1,β}$枝に対して、有限ノイズスコアから接モデルへの$O(σ^β)$収束を証明する。
制御された実験では、50kステップのトレーニングは、4つのジオメトリにわたる検証正規化スコア誤差を低くするが、角運動誤差を生じさせ、通常のスコア適合と幾何回復を分離する。
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