論文の概要: Generalized Splines and Gaussian Processes

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2608.28446v1
• Date: Fri, 28 Aug 2026 15:34:46 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-08-31 17:16:04.382609
• Title: Generalized Splines and Gaussian Processes
• Title（参考訳）: 一般化スプラインとガウス過程
• Abstract要約: 一般化スプラインが線形回帰器の役割を担い、核空間上の一般化されたガウス過程を$S$はガウス確率ベクトルの対となることを示す。 我々の形式主義は、白化/正則化作用素 $L: Sto S'$ を含み、その連続拡大は、我々の特徴づけにおいて中心的な役割を果たすヒルベルト空間 $Hsubset S'$ を誘導する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 15.333202915986627
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: For finite-dimensional linear inverse problems where the variables are Gaussian, it is well-known that the minimum-mean-square error estimator takes the form of a regularized least-squares data fit. In this chapter, we show that this equivalence extends to a much broader infinite-dimensional setting where generalized splines take the role of linear regressors and generalized Gaussian processes on a nuclear space $S$ are the counterpart of Gaussian random vectors. The scope of this extension is of the same nature as the switch from the classic notion of function to that of a distribution, also known as a "generalized function." Our formalism involves a whitening/regularization operator $L: S\to S'$ whose continuous extension induces a native Hilbert space $H\subset S'$ that plays a central role in our characterization. The presentation is self-contained for the most part and remarkably general and powerful. It allows for the recovery of all known instances of such equivalences; in particular, the methods involving innovations and reproducing-kernel Hilbert spaces developed by Kailath and his students, and the mathematical correspondence between fractional splines and Mandelbrot's fractional Brownian motion (fractals), with the former being the optimal estimators of the latter. It also covers general Bayesian methods for the resolution of infinite-dimensional inverse problems.
• Abstract（参考訳）: 変数がガウス多様体である有限次元線型逆問題に対して、最小平均二乗誤差推定器が正規化された最小二乗データの形式をとることはよく知られている。 この章では、この同値性は、一般化されたスプラインが線形回帰器の役割を担い、核空間上の一般化されたガウス過程がガウス確率ベクトルの対となるような、より広い無限次元の設定にまで拡張されることを示す。 この拡張のスコープは、古典的な函数の概念から「一般化函数」と呼ばれる分布へのスイッチと同じ性質である。 我々の形式主義は、白化/正則化作用素 $L: S\to S'$ で、連続拡大は、我々の特徴づけにおいて中心的な役割を果たす固有ヒルベルト空間 $H\subset S'$ を誘導する。 プレゼンテーションの大部分は自己完結型で,極めて汎用的でパワフルです。 特に、カイラスとその学生によって開発された革新と再現・カーネルヒルベルト空間を含む方法、および分数スプラインとマンデルブロットの分数的ブラウン運動(フラクタル)の間の数学的対応は、後者の最適推定量である。 また、無限次元逆問題の解法に関する一般ベイズ的手法もカバーしている。

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