論文の概要: Variable-Cliff Nielsen Geometry and an Exponent -4/3 Lower Bound for the Infinite-Cliff Diameter
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.03323v1
- Date: Thu, 03 Sep 2026 03:21:33 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-09-04 18:28:38.902127
- Title: Variable-Cliff Nielsen Geometry and an Exponent -4/3 Lower Bound for the Infinite-Cliff Diameter
- Title（参考訳）: 可変クリフ型ニールセン幾何と無限クリフ径に対する指数-4/3下界
- Authors: Honghuai Fang,
- Abstract要約: 右不変のワンステップクリフ計量 $d_Q$ on $operatornamePU(D)$。
0x/sqrt3$, [ _Dbigl(B_Q_D([I],xsqrtQ_D)bigr)le e-c_xD2。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Let $D=2^n$ and $M=3n+9\binom n2$. We study the right-invariant one-step-cliff metric $d_Q$ on $\operatorname{PU}(D)$, with unit penalty on Pauli weights one and two and penalty $Q$ on all higher weights. If $M/Q_D\to0$ and $MQ_D^{3/4}/D^2\to0$, then, for every fixed $0<x<π/\sqrt3$, \[ μ_D\bigl(B_{Q_D}([I],x\sqrt{Q_D})\bigr)\le e^{-c_xD^2}. \] Here $μ_D$ is normalized Haar measure. Thus the Haar-typical distance from the identity and the diameter are both asymptotic to $(π/\sqrt3)\sqrt{Q_D}$ throughout the window $M\ll Q_D\ll D^{8/3}M^{-4/3}$. Choosing $Q_D=κD^{8/3}M^{-4/3}$ with sufficiently small fixed $κ>0$ yields a Haar-typical lower bound of order $D^{4/3}M^{-2/3}$ for the corresponding infinite-cliff Carnot--Carathéodory distance, outside an $e^{-Ω(D^2)}$ exceptional set. The infinite-cliff diameter therefore has exponential lower rate at least $4/3$, disproving Brown's exponent-one conjecture. The same estimate gives a fixed-error no-ancilla two-qubit circuit lower bound of the same order.
- Abstract（参考訳）: D=2^n$と$M=3n+9\binom n2$とする。
右不変の一段クリフ計量 $d_Q$ on $\operatorname{PU}(D)$, with unit penalty on Pauli weights one and two and penalty $Q$ on all higher weights。
M/Q_D\to0$ と $MQ_D^{3/4}/D^2\to0$ とすると、すべての固定された $0<x<π/\sqrt3$, \[μ_D\bigl(B_{Q_D}([I],x\sqrt{Q_D})\bigr)\le e^{-c_xD^2} が成り立つ。
ここで$μ_D$は正規化されたハール測度である。
したがって、恒等式と直径からのハール型距離は、窓面全体を通して$(π/\sqrt3)\sqrt{Q_D}$に漸近的である。
Q_D=κD^{8/3}M^{-4/3}$を十分小さい固定された$κ>0$で選ぶと、対応する無限クリフのカルノット-キャラセオロディ距離に対する位数$D^{4/3}M^{-2/3}$のハール型下界は、$e^{-Ω(D^2)}$例外集合の外側にある。
したがって、無限クリフの直径は少なくとも4/3$の指数的な低い速度を持ち、ブラウンの指数1の予想を否定する。
同じ推定値から、固定エラーなしの2ビット回路を同じ順序で下限とする。
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