論文の概要: Constructions of complete permutations over $\mathbb{F}_q^n$
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.05564v1
- Date: Thu, 03 Sep 2026 21:46:50 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-09-12 13:20:13.231929
- Title: Constructions of complete permutations over $\mathbb{F}_q^n$
- Title（参考訳）: $\mathbb{F}_q^n$ 上の完全置換の構成
- Abstract要約: 写像 $(X)= M(X+(AX))$ over $mathbbF_qn$ の完全な置換挙動を特徴付ける。
F(X)=T(X+Btf(AX))$ over $mathbbF_qn$。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 7.1118698115769545
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Complete permutation polynomials play an important role in cryptography, particularly in the design of cryptographic primitives such as the Lai--Massey scheme and S-boxes. We generalize a result of Sun, Li, Guo, and Qu (2021) by characterizing the complete permutation behavior of the mapping $Ψ(X)=M(X+ψ(AX))$ over $\mathbb{F}_q^n$, where $\mathbb{F}_q$ is a finite field of $q$ elements with $q$ being a prime power, $M\in GL(n, \mathbb{F}_q)$, $GL(n, \mathbb{F}_q)$ is the general linear group of order $n$ over $\mathbb{F}_q$, $A_{m \times n}$ is a full-rank matrix over $\mathbb{F}_q$, and $ψ=(ψ_1,ψ_2,\ldots,ψ_n)$ with each component function $ψ_i:\mathbb{F}_q^m\to\mathbb{F}_q$. Furthermore, we establish criteria for the permutation and complete permutation properties of the mapping $F(X)=T(X+B^tf(AX))$ over $\mathbb{F}_{q}^n$, $f: \mathbb{F}_{q}^{m} \rightarrow \mathbb{F}_{q}^{n-m}$, $T \in GL(n, \mathbb{F}_q)$, $A_{m \times n}$ and $B_{(n-m)\times n}$ are full-rank matrices over $\mathbb{F}_q$, $B^t$ represents the transpose of the matrix $B$, and $0<m<n$ are integers. These results also generalize an earlier result of Gravel and Panario (2023), who showed that any arbitrary function $f$ from $\mathbb{F}_q^m$ to $\mathbb{F}_q^{\,n-m}$ can be extended to a bijection over $\mathbb{F}_{q}^n$ through the mapping $F(X)=T(X+B^tf(AX))$, under the condition $AB^t=0$. Here we do not impose the restriction that $AB^t=0$.
- Abstract（参考訳）: 完全置換多項式は、特にレイ=マシースキームやSボックスのような暗号プリミティブの設計において重要な役割を果たす。
我々は、Sun, Li, Guo, Qu (2021) の結果を、写像の完全な置換挙動を特徴づけることにより、一般化する: $\mathbb{F}_q^n$, where $\mathbb{F}_q$, where $\mathbb{F}_q$ is a finite field of $q$ elements with $q$ is a prime power, $M\in GL(n, \mathbb{F}_q)$, $GL(n, \mathbb{F}_q)$ is a general linear group of order $n$ over $\mathbb{F}_q$, $A_{m \times n}$ is a full-rank matrix over $\mathbb{F}_q$, $1, \ldots_q)$, $M\in GL(n, \mathbb{F}_q)$, $M\in GL(n, \mathbb{F}_q)$, $A_{m \times n}$}$
さらに、写像 $F(X)=T(X+B^tf(AX))$ over $\mathbb{F}_{q}^n$, $f: \mathbb{F}_{q}^{m} \rightarrow \mathbb{F}_{q}^{n-m}$, $T \in GL(n, \mathbb{F}_q)$, $A_{m \times n}$, $B_{(n-m)\times n}$ は $\mathbb{F}_q$, $B^t$ 上のフルランク行列であり、$0<m$ は$Bの変換を表す。
これらの結果は、Gravel and Panario (2023) の初期の結果を一般化し、任意の関数 $f$ from $\mathbb{F}_q^m$ to $\mathbb{F}_q^{\,n-m}$ は、$F(X)=T(X+B^tf(AX))$ という条件で、$AB^t=0$ という条件で $\mathbb{F}_q^{\,n-m}$ を $\mathbb{F}_{q}^n$ 上の単射に拡張できることを示した。
ここでは$AB^t=0$という制限を課しません。
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