論文の概要: Information-Induced Training Geometry: Exact Reduction, Canonical Completion, and Structured Expressivity

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.12991v1
• Date: Sat, 11 Jul 2026 17:59:41 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-09-28 05:09:55.509267
• Title: Information-Induced Training Geometry: Exact Reduction, Canonical Completion, and Structured Expressivity
• Title（参考訳）: 情報誘導型トレーニング幾何: 厳格化, 正準完備化, 構造的表現性
• Abstract要約: トレーニングデータは、宣言された情報チャネルに可視なコベクターを通して幾何学を制約する。 このような部分的な情報が参照に対して完全な正の彗星をどのように決定するかを考察する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Training data constrains optimizer geometry through the covectors visible to a declared information channel. We study how such partial information determines a full positive cometric relative to a reference and which degrees of freedom remain unidentified. Our central result resolves full-column-rank positive-definite compression under affine-invariant Riemannian geometry. The compression map is a split-Hadamard metric submetry and admits an explicit unique completion that is the affine-invariant nearest full geometry realizing a visible target and yields exact full-to-visible variational reduction. When the channel moves, the completions form a gauge-invariant rank stratification of the positive-definite cone. Its closed-form pullback pair metric separates visible-metric motion from subspace rotation through a reference-mismatch weight, yields an explicit positive-semidefinite multi-direction Gram matrix, and exposes the precise singularity of reference-valued modes. The mechanism is explained by a metric theorem equating ball submetry, attained fiber distance, and lossless reduction of every monotone radial visible decision problem. A smooth split-Hadamard theorem supplies coherent information sheets, proximal commutation, and solution-wise gradient-flow lifting. The positive-definite realization also gives closed-form prior-data shrinkage. Diagonal and block optimizer families reduce to relative-interior conic image tests with valid facial certificates, while deterministic and finite-sample bounds quantify recovery of the visible geometry and its subspace. Together these results characterize exact reduction, reference-dependent completion, and structured expressivity for the stated finite-dimensional affine-invariant model.
• Abstract（参考訳）: トレーニングデータには、宣言された情報チャネルに可視なコベクタを通じて、オプティマイザのジオメトリが制約される。 このような部分的な情報によって、参照に対して完全な正の彗星が決定され、どの自由度が未同定のままなのかを考察する。 我々の中心的な結果は、アフィン不変リーマン幾何学の下で全カラムランク正定圧縮を解く。 圧縮写像はスプリット・アダマール計量のサブメトリーであり、アフィン不変の最も近いフル幾何である明示的な一意的な完備化を認め、可視的目標を実現し、正確なフル・ツー・ヴィジュアブルな変分還元をもたらす。 チャネルが移動すると、完備化は正定円錐のゲージ不変ランク成層を形成する。 閉形式プルバック対の計量は、部分空間回転から参照ミスマッチ重みを通して可視運動を分離し、明示的な正の正準有限多方向グラム行列を生成し、参照値モードの正確な特異点を公開する。 このメカニズムは、ボールサブメトリー、繊維距離の達成、および全ての単調な視線可視決定問題の損失のない減少を近似する計量定理によって説明される。 スムーズなスプリット・アダマールの定理は、コヒーレントな情報シート、近距離の通勤、解の向きの勾配流リフトを提供する。 正定値実現はまた、閉形式の事前データ縮小を与える。 対角およびブロックオプティマイザファミリーは、有効な顔認証による相対的中間円錐画像テストに還元され、決定論的および有限サンプル境界は、可視幾何とその部分空間の回復を定量化する。 これらの結果は、記述された有限次元アフィン不変モデルに対する正確な還元、参照依存完備化、構造化された表現性を特徴付ける。

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