論文の概要: Geometric Structures on Graphs: a Holonomy-Based Discretization of Curvature
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2608.22453v1
- Date: Sun, 23 Aug 2026 15:03:19 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-08-25 18:24:36.975999
- Title: Geometric Structures on Graphs: a Holonomy-Based Discretization of Curvature
- Title（参考訳）: グラフ上の幾何学的構造:ホロノミーに基づく曲率の離散化
- Abstract要約: 本稿では,局所対称正定値メトリクスを備えたグラフ上での曲率の離散化のためのホロノミーに基づくフレームワークを提案する。
(mathcal C)はホロノミー(H_mathcal C)を与え、その正規化関係(_mathcal C=-s_mathcal C-1operatornameLog(H_mathcal C)を有限ループ曲率観測に用いる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 5.5162169444954365
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We propose a holonomy-based framework for discretizing curvature on graphs equipped with local symmetric positive-definite metrics. Each vertex carries a fibre metric \(g_i\), and each directed edge carries a reversible metric-compatible transport \(F_{ij}\). The ordered product around an oriented triangular loop \(\mathcal C\) gives a holonomy \(H_{\mathcal C}\), whose normalized logarithm \(Ω_{\mathcal C}=-s_{\mathcal C}^{-1}\operatorname{Log}(H_{\mathcal C})\) is used as a finite-loop curvature observation. Thus the construction discretizes the geometric principle that infinitesimal holonomy is controlled by curvature, rather than treating holonomy as a heuristic feature. Since \(Ω_{\mathcal C}\) lies in the \(g_i\)-orthogonal Lie algebra, it is not itself a velocity of an SPD metric. We therefore introduce two aggregation mechanisms: a commutator with a symmetric response matrix, producing symmetric Ricci-type metric responses, and an incidence-aware covariant divergence of curvature-induced edge fluxes, reflecting the relation between trace and covariant divergence. The resulting responses are locally orthogonal-gauge equivariant and can drive exponential updates that preserve positive definiteness. We also give a reversible metric-compatible parametrization of edge transports, allowing orthogonal edge factors, loop scales, weights, and response matrices to be learned while respecting the graph geometry. Known-geometry calibrations on the unit sphere test the holonomy--curvature relation, curvature preservation under nontrivial local metric representations, and the empirical recovery of edge transports from local observations.
- Abstract（参考訳）: 本稿では,局所対称正定値メトリクスを備えたグラフ上での曲率の離散化のためのホロノミーに基づくフレームワークを提案する。
それぞれの頂点はファイバー計量 \(g_i\) を持ち、それぞれの有向エッジは可逆距離互換輸送 \(F_{ij}\) を運ぶ。
向き付けられた三角ループ \(\mathcal C\) の周りの順序積はホロノミー \(H_{\mathcal C}\) を与え、正規化された対数 \(Ω_{\mathcal C}=-s_{\mathcal C}^{-1}\operatorname{Log}(H_{\mathcal C})\) を有限ループ曲率観測として用いる。
したがって、構成はホロノミーをヒューリスティックな特徴として扱うのではなく、無限小ホロノミーが曲率によって制御されるという幾何学的原理を識別する。
\(Ω_{\mathcal C}\) は \(g_i\)-直交リー代数に属するので、それ自体は SPD 計量の速度ではない。
そこで, 対称応答行列を持つ可換器を用いて, 対称リッチ型計量応答を発生させるとともに, 曲率誘起エッジフラックスの入射-認識共変ばらつきを生じさせ, トレースと共変ばらつきの関係を反映する。
結果として得られる応答は局所直交ゲージ同変であり、正の定性を保つ指数的な更新を駆動することができる。
また、エッジトランスポートの可逆な計量互換パラメトリゼーションを与え、グラフ幾何学を尊重しながら直交するエッジファクタ、ループスケール、ウェイト、応答行列を学習できるようにする。
単位球上の既知の幾何キャリブレーションは、ホロノミー-曲率関係、非自明な局所メートル法表現による曲率保存、および局所的な観測からエッジ輸送の実験的回復をテストする。
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