論文の概要: Dynamic Kuramoto-Hodge Operators for PDEs on Complex Geometries and Topologies

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.33693v1
• Date: Sun, 27 Sep 2026 15:55:47 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-10-04 17:40:50.479543
• Title: Dynamic Kuramoto-Hodge Operators for PDEs on Complex Geometries and Topologies
• Title（参考訳）: 複雑な測地・位相上のPDEに対する動的倉本ホッジ演算子
• Abstract要約: トポロジに制約のある相互作用と学習協調を組み合わせた動的倉本-ホッジ演算子(DKHO)について紹介する。 トポロジーは情報がどこに流れるかを決定するが、学習されたダイナミクスは各PDEインスタンスとどのように交換されるかに適応する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 26.41874791608356
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Learning PDE operators on complex domains requires capturing interactions among fields on vertices, edges, and faces, alongside global responses shaped by topology. Existing neural operators accommodate irregular geometries but often overlook these distinct field supports or their condition-dependent coupling. We introduce the Dynamic Kuramoto--Hodge Operator (DKHO), which combines topology-constrained interactions with learned coordination. DKHO encodes conditions on their native cochain supports, evolves Kuramoto-inspired relation states through the boundary and coboundary operators that compose the Dirac operator, and decodes non-harmonic and harmonic responses in orthogonal Hodge subspaces. Topology thus determines where information can flow, while learned dynamics adapts how it is exchanged to each PDE instance. Across porous-medium Darcy flow, torus transport--diffusion, and cavity magnetostatics, DKHO-large reduces prediction error by approximately 61% on average over leading baselines, while DKHO-small remains competitive using only 11.5--24.3% as many parameters. These results suggest that coupling topological structure with adaptive dynamics provides an effective inductive bias for accurate and parameter-efficient PDE operator learning on complex geometries and topologies.
• Abstract（参考訳）: 複素領域上のPDE演算子を学習するには、位相によって形作られた大域的な応答とともに、頂点、端、面上のフィールド間の相互作用をキャプチャする必要がある。 既存のニューラル作用素は不規則な測地を許容するが、しばしばこれらの異なる場のサポートや条件に依存した結合を見落としている。 トポロジに制約のある相互作用と学習協調を組み合わせた動的倉本-ホッジ演算子(DKHO)について紹介する。 DKHOは、彼らのネイティブなコチェーンの条件を符号化し、ディラック作用素を構成する境界作用素とコバウンダリ作用素を通してクラモトにインスパイアされた関係状態を進化させ、直交ホッジ部分空間において非調和および調和応答をデコードする。 トポロジは情報の流れを判断し、学習されたダイナミクスは各PDEインスタンスとどのように交換されるかに適応する。 多孔質-メジウムダーシー流、トーラス輸送-拡散、キャビティ静電効果により、DKHO-largeは平均61%の予測誤差を減少させ、DKHO-smallは11.5-24.3%のパラメータで競争力を維持している。 これらの結果は、適応力学とトポロジ構造を結合させることで、複素測地およびトポロジ上の正確かつパラメータ効率の良いPDE演算子学習に効果的な帰納バイアスが得られることを示唆している。

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