論文の概要: From Simple Sources to Quantum Advantage: Homomorphic Polynomial Transduction via Relative Decoding
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.35101v1
- Date: Mon, 28 Sep 2026 13:10:51 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-10-02 16:58:00.864585
- Title: From Simple Sources to Quantum Advantage: Homomorphic Polynomial Transduction via Relative Decoding
- Title（参考訳）: 単純な情報源から量子アドバンテージ:相対デコードによる同型多項式変換
- Abstract要約: デコード量子干渉法(DQI)とそのハミルトン拡張法(HDQI)は、振幅が目標の低度である状態を作成する。
我々は、このアプローチを代数準同型を通して量子状態として再考する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.1798318618973362
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Decoded quantum interferometry (DQI) and its Hamiltonian extension (HDQI) prepare states whose amplitudes are low-degree polynomials of an objective, using Fourier transforms and coherent decoding. We recast this approach as quantum state transduction through algebra homomorphisms. We transfer an efficiently preparable operator state of a degree-$D$ polynomial in a source Hamiltonian $H_A$ to the corresponding polynomial state of a target Hamiltonian $H_B=π(H_A)$, where $π$ is a unital $*$-homomorphism between the finite-dimensional source and target $C^*$-algebras. The transduction uses operator Fourier transforms and relative decoding to recover source operators rather than individual term-selection labels. The relative distance $d_{\mathrm{rel}}$ is the first degree at which source and target traces disagree. We prove that $2D<d_{\mathrm{rel}}$ is equivalent to preserving all inner products between degree-$D$ polynomials. Moreover, $d_{\mathrm{rel}}\ge d_{\mathrm{ord}}$, where $d_{\mathrm{ord}}$ is the ordinary distance used in (H)DQI, and we give families with $d_{\mathrm{ord}}=O(1)$ but $d_{\mathrm{rel}}=Θ(n)$ and efficient decoders. Our framework replaces the complicated pilot state preparation by the more modular task of preparing a source polynomial state. DQI and HDQI arise as relation-free special cases. The framework accommodates nonuniform coefficients and noncommuting interactions and extends to fermionic, qudit, and bosonic systems, with applications to approximate optimization and Gibbs sampling. As evidence of advantages, for a nonlinear pairwise variant of optimal polynomial intersection where constant $d_{\mathrm{ord}}$ limits DQI-style preparations, relative decoding yields an ideal quantum score of 0.643 versus 0.606 for the best tested classical heuristic, a gap exceeding 3 percentage points.
- Abstract（参考訳）: デコード量子インターフェロメトリ(DQI)とそのハミルトン拡張(HDQI)は、フーリエ変換とコヒーレント復号を用いて、振幅が対象の低次多項式である状態を作成する。
我々は、このアプローチを代数準同型による量子状態変換として再考する。
我々は、ソースハミルトニアン$H_A$の次数-$D$多項式の効率よく準備可能な作用素状態を、ターゲットハミルトニアン$H_B=π(H_A)$の対応する多項式状態に転送する。
この変換では、演算子フーリエ変換と相対復号を用いて、個々の項選択ラベルではなく、ソース演算子を復元する。
相対距離$d_{\mathrm{rel}}$は、ソースとターゲットトレースが一致しない最初の次数である。
2D<d_{\mathrm{rel}}$は次数-D$多項式の間のすべての内積を保存することと等価であることを示す。
さらに、$d_{\mathrm{rel}}\ge d_{\mathrm{ord}}$, where $d_{\mathrm{ord}}$は(H)DQIで使われる通常の距離であり、$d_{\mathrm{ord}}=O(1)$と$d_{\mathrm{rel}}=\(n)$と効率的なデコーダを持つ家族を与える。
我々のフレームワークは、複雑なパイロット状態の準備を、ソース多項式状態を作成するためのよりモジュラーなタスクによって置き換える。
DQIとHDQIは関係のない特別なケースとして現れる。
このフレームワークは非一様係数と非可換相互作用に対応し、フェルミオン系、キュディット系、ボゾン系にまで拡張し、最適化とギブスサンプリングを近似する。
利点の証拠として、定数$d_{\mathrm{ord}}$制限DQI型の準備がある最適多項式交叉の非線形対不変量に対して、相対復号法は、最良の古典的ヒューリスティックに対する理想的な量子スコアが 0.643 対 0.606 となり、ギャップは 3 ポイントを超える。
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