論文の概要: Bivariate Bicycle Codes over Group Algebras
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2609.36213v1
- Date: Mon, 28 Sep 2026 20:10:05 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-09-30 21:28:46.996107
- Title: Bivariate Bicycle Codes over Group Algebras
- Title（参考訳）: 群代数上の二変量自転車符号
- Abstract要約: 1つの二進シフトは右乗法で作用し、もう1つは左積で作用する。
D_3$の場合、一対の重み付き置換シフトは通常の$C_6times C_12$アクションを生成する。
また、コンピュータで検証された[144,16,12$ code over $A_4times C_6$, with every check of weight 8。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We study a weighted-shift formulation of bivariate bicycle group-algebra (BBGA) codes over finite group algebras. One binary shift acts by right multiplication and the other by left multiplication; associativity ensures that these shifts commute even for a nonabelian seed group. Bivariate polynomials in the shifts, including mixed monomials, therefore define CSS codes. We give explicit sparsity bounds and distinguish nonabelian seed groups from codes that are intrinsically inequivalent to abelian realizations. For $D_3$, a pair of weighted permutation shifts generates a regular $C_6\times C_{12}$ action and recovers the known $[[144,12,12]]$ and $[[144,14,14]]$ bivariate bicycle codes. We also present a computer-verified $[[144,16,12]]$ code over $A_4\times C_6$, with every check of weight eight. This example belongs to the established nonabelian two-block group-algebra family. Exhaustive low-weight enumeration and an intrinsic stabilizer-support invariant certify that it is inequivalent to any ordinary abelian BB or two-block group-algebra realization, even under qubit permutations combined with local Clifford operations. Finally, a nonuniform weighted-shift construction over $\mathbb{F}_2[C_3]$ yields a $[[18,4,3]]$ code with check weights six and eight. An exact enumeration of its minimum stabilizer supports rules out every ordinary binary 2BGA realization at that length, under the same equivalence. This establishes that the unrestricted weighted-shift formulation extends beyond the ordinary 2BGA class, even with an abelian seed group.
- Abstract（参考訳）: 有限群代数上の二変数自転車群代数(BBGA)符号の重み付きシフト定式化について検討する。
1つの二進シフトは右乗法で作用し、もう1つは左乗法で作用する。
混合単項を含むシフトにおけるバイバーリテイト多項式はCSS符号を定義する。
明示的な空間境界を与え、非アーベルシード群と本質的にアーベル実現と等価でない符号とを区別する。
D_3$の場合、一対の重み付き置換シフトが通常の$C_6\times C_{12}$アクションを生成し、既知の$[[144,12,12]]$と$[[144,14,14]]$バイバリケート自転車コードを復元する。
また、コンピュータで検証された$[[144,16,12]]$コードを$A_4\times C_6$で示します。
この例は確立された非アーベル 2-ブロック群-代数族に属する。
排他的低ウェイト列挙と本質的安定化器支持不変量(英語版)は、局所クリフォード演算と組み合わされたキュービット置換の下でも、通常のアーベルBBあるいは2ブロック群代数実現と等価でないことを証明している。
最後に、$\mathbb{F}_2[C_3]$上の非一様重み付きシフト構造は、チェックウェイトが6と8である$[18,4,3]$コードを生成する。
最小安定化器の正確な列挙は、同じ同値の下で、その長さでの通常のバイナリ2BGA実現の規則を支持する。
このことは、制限されない重み付きシフトの定式化が、アーベルシード群でさえ通常の2BGAクラスを超えて広がることを証明している。
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