論文の概要: Minimal Counterexamples of the MacWilliams Extension Theorem for Stabilizer Codes
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.26214v1
- Date: Tue, 28 Jul 2026 19:31:39 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-07-30 21:06:25.459489
- Title: Minimal Counterexamples of the MacWilliams Extension Theorem for Stabilizer Codes
- Title（参考訳）: 安定化器符号に対するMacWilliams拡張定理の最小反例
- Authors: Ali Assem Mahmoud,
- Abstract要約: MacWilliams拡張定理は、非巡回ソクルを持つ加群アルファベットに対して失敗する。
qudit安定化符号のラベルアルファベットである$F_q2$ over $F_q$はそのようなアルファベットである。
しかし、量子誤り訂正は、固有直交加法符号しか見つからない。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: The MacWilliams extension theorem fails for module alphabets with non-cyclic socle, and the label alphabet of qudit stabilizer codes, $\F_{q^2}$ over $\F_q$, is such an alphabet. Quantum error correction, however, only ever sees \emph{self-orthogonal} additive codes, and whether that rigidity rescues the theorem---equivalently, whether every weight-preserving isomorphism of stabilizer groups is implemented by local Cliffords and a qudit permutation---was asked by Gluesing-Luerssen and Pllaha and answered negatively by Pllaha for particular qubit codes. We develop the negative answer systematically and at the smallest possible scales. For every prime power $q$ we construct a pair of $[[q+1,q-1]]_q$ stabilizer codes and a weight-preserving isomorphism between them extending to no monomial transformation; the codespaces are inequivalent even under arbitrary local unitaries combined with permutations, though they share Shor--Laflamme enumerators. Self-orthogonality is automatic here, by two elementary lemmas which also show that Dyshko's threshold-length counterexamples were already self-orthogonal, unremarked. For qubits we prove by exhaustive search that length $3$ is minimal and the counterexample essentially unique. Dropping the ``idle qudit'' invariant that detects these, we find the minimal full-support lengths: $4$ for a non-extendable isometry, $5$ for a weight-isometric pair that is not monomially equivalent, realized by explicit $[[5,2]]$ codes; at length $6$ all nontrivial stabilizer elements can have weight $\ge 4$. Whether these codespaces are locally unitarily equivalent is posed as an open problem, connecting the extension problem to the LU--LC circle of questions.
- Abstract（参考訳）: MacWilliamsの拡張定理は、非巡回的な socle を持つ加群アルファベットに対して失敗し、qudit 安定化符号のラベルアルファベット $\F_{q^2}$ over $\F_q$ はそのようなアルファベットである。
しかし、量子誤差補正は \emph{self-orthogonal} 加法符号のみを見ることができ、その剛性によって定理が救われるかどうか-等しく、安定群のすべての重み保存同型が局所クリフォード(英語版)とキュディット置換(英語版)(qudit permutation)によって実装されるか--グルジン=ルアーセン(英語版)とプラハ(英語版)(Pllaha)によって要求され、特定のクォービット符号に対してプラハ(英語版)によって否定的に答えられるかのどちらかである。
ネガティブな答えを体系的に最小限のスケールで開発する。
すべての素数$q$に対して、$[[q+1,q-1]]_q$の安定化符号とそれらの間の重み保存同型をモノミアル変換に拡張する。
ここでは2つの基本的な補題によって自己直交性は自動であり、これはまた、ディシュコのしきい値長の反例が既に自己直交的であり、言及されていないことを示している。
量子ビットの場合、完全検索によって、長さが3ドルは最小限であり、反例は本質的にユニークであることを証明します。
これらを検出する `idle qudit'' 不変式をドロップすると、最小のフルサポート長が分かる: 拡張不可能な等尺値に対して$4$、モノミカルに同値でないウェイトアイソメトリ対に対して$5$、明示的な$[5,2] のコードで実現される。
これらの符号空間が局所的ユニタリ同値であるか否かは開問題として提起され、拡張問題をLU-LCの円に接続する。
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