論文の概要: Quadratic symmetry algebras and Sturm algebraization of superintegrable systems with magnetic fields

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.01869v1
• Date: Thu, 01 Oct 2026 15:29:07 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-10-03 01:19:24.224192
• Title: Quadratic symmetry algebras and Sturm algebraization of superintegrable systems with magnetic fields
• Title（参考訳）: 磁場を持つ超可積分系の二次対称性代数とストゥルム代数化
• Abstract要約: 非消滅軸対称磁場における2つの3次元量子超可積分系について検討する。 各モデルについて、積分はカシミールを持つ二次代数を生成し、有限次元の変形オシレータ表現は代数スペクトルを生成する。 したがって、元のハミルトニアンの二次代数/変形オシレータ表現、放物的分離後の$sl(2)$代数化、分離前の完全ストゥルム問題の$sl(3)$代数化という3つの相補的な記述が得られる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We study two three-dimensional quantum superintegrable systems in nonvanishing axially symmetric magnetic fields. For each model the integrals generate a quadratic algebra with a Casimir, and finite-dimensional deformed-oscillator representations yield algebraic spectra. The same spectra are recovered by separation of variables. In circular parabolic coordinates the separated equations are sextic biconfluent-Heun equations with finite polynomial sectors. We formulate them as Sturm eigenvalue problems with the physical energy as a parameter and the separation constant diagonalized. After gauge transformation, each equation admits an $sl(2)$ algebraization and reduces to a finite tridiagonal matrix. We also construct a pre-separation Sturm representation of each complete Hamiltonian, taking the inverse-square coupling as the Sturm eigenvalue. The transformed integrals remain commuting and, after fixing the axial integral, changing variables and gauge rotating, the two-variable Sturm Hamiltonian and its non-central integrals belong to the universal enveloping algebra $U(sl(3))$. We thus obtain three complementary algebraic descriptions: the quadratic-algebra/deformed-oscillator representation of the original Hamiltonian, the $sl(2)$ algebraization after parabolic separation, and the $sl(3)$ algebraization of the complete Sturm problem before separation. Although the two magnetic Hamiltonians are distinct in the original classification, fixing the axial integral reduces them to the same singular 2:1 oscillator normal form with different effective parameter embeddings. This explains the common $sl(3)$ structure without implying equivalence of the original magnetic systems. These results show how distinct hidden algebraic structures and exact or quasi-exact solvability can emerge at different stages of a multiseparable superintegrable system.
• Abstract（参考訳）: 非消滅軸対称磁場における2つの3次元量子超可積分系について検討する。 各モデルについて、積分はカシミールを持つ二次代数を生成し、有限次元の変形オシレータ表現は代数スペクトルを生成する。 同じスペクトルは変数の分離によって回収される。 円放物線座標では、分離方程式は、有限多項式セクターを持つセクシュティック二流・フン方程式である。 物理エネルギーをパラメータとして、分離定数を対角化することで、Sturm固有値問題として定式化する。 ゲージ変換の後、各方程式は$sl(2)$代数化を許容し、有限三対角行列に還元する。 また、各完備ハミルトニアンの事前分離 Sturm 表現を構築し、逆二乗結合を Sturm 固有値とする。 変換された積分は可換であり、軸積分を固定し、変数を変化させ、ゲージを回転させた後、2変数のストゥルム・ハミルトニアンとその非中央積分は普遍包絡代数 $U(sl(3))$ に属する。 したがって、元のハミルトニアンの二次代数/変形オシレータ表現、放物的分離後の$sl(2)$代数化、分離前の完全ストゥルム問題の$sl(3)$代数化という3つの相補的代数的記述が得られる。 2つの磁性ハミルトニアンはもともとの分類では異なるが、軸積分を固定することで、異なる有効パラメータの埋め込みを持つ同一の2:1振動子正規形式に還元される。 これは、オリジナルの磁気系の等価性を含まない、一般的な$sl(3)$構造を説明する。 これらの結果は、多重分離可能超可積分系の異なる段階において、隠された代数構造と完全あるいは準コンパクトな可解性がどのように出現するかを示している。

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