論文の概要: Split-quaternionic structure and canonical quantization of the Bateman dual oscillator

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2607.16516v1
• Date: Fri, 17 Jul 2026 21:33:05 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-07-21 18:48:37.172602
• Title: Split-quaternionic structure and canonical quantization of the Bateman dual oscillator
• Title（参考訳）: ベイトマン二重発振器の分極四元構造と正準量子化
• Abstract要約: 我々は、通常の複素正準量子化を通じて古典方程式と整合する分割四元数定式化を開発する。 補助座標上の形式的トレースは高温カルデイラ-レゲット力学と比較され、二重モデルがコヒーレントゼロノイズ埋め込みであることを明らかにする。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Bateman's dual oscillator embeds a damped harmonic oscillator and an independent anti-damped adjoint coordinate in a conservative doubled system. We develop a split-quaternionic formulation that remains consistent from the classical equations through ordinary complex canonical quantization. The doubled dynamics is written as a two-sided hypercomplex evolution whose conserved indefinite quadratic form is the split norm, while the sign of the generator square unifies the underdamped, overdamped, and critical regimes. The Bateman Lagrangian is recovered as a real scalar action on the split-complex configuration subalgebra. After quantization, operator-valued split quaternions belong to the complexified algebra $\mathbb C\otimes_{\mathbb R}\mathbb H_s\simeq M_2(\mathbb C)$. Noncommuting mechanical components require a symmetrized quantum split norm, which exactly reproduces the symmetrically ordered canonical Hamiltonian. Null idempotents resolve the crossed canonical structure of the doubled phase space. In particular, damping yields $[m\dot{\widehat y},m\dot{\widehat x}]=\mathrm{i}\hbar mγ$ and a Robertson--Schrödinger uncertainty relation. The limit $γ\to0$ retains the doubled positive/negative geometry; the ordinary single-oscillator Heisenberg relation is recovered only after selecting the positive normal mode, or by undoubling before quantization. The scalar split action gives the exact quadratic propagator and Gaussian evolution. A formal trace over the auxiliary coordinate is finally compared with high-temperature Caldeira--Leggett dynamics, clarifying that the doubled model is a coherent zero-noise embedding rather than a microscopic reservoir theory.
• Abstract（参考訳）: ベイトマンの二重発振器は、減衰した高調波発振器と独立の反減衰随伴座標を保守的な二重系に埋め込む。 我々は、通常の複素正準量子化を通じて古典方程式と整合性を保つ分割四元数定式化を開発する。 二重力学は、保存された不確定二次形式が分割ノルムである二面超複素展開として記述され、ジェネレータ正方形の符号は、過度に破壊され、臨界状態を統一する。 ベイトマン・ラグランジアンは分割複素構成部分代数上の真のスカラー作用として回収される。 量子化後、作用素値の分割四元数は複素代数 $\mathbb C\otimes_{\mathbb R}\mathbb H_s\simeq M_2(\mathbb C)$ に属する。 非可換な機械的成分は対称化された量子分割ノルムを必要とし、対称的に順序付けられた正準ハミルトニアンを正確に再現する。 ヌル等方性は二重位相空間の交叉正準構造を解く。 特に、減衰は$[m\dot{\widehat y},m\dot{\widehat x}]=\mathrm{i}\hbar mγ$とロバートソン-シュレーディンガーの不確実性関係をもたらす。 通常の単振動子ハイゼンベルク関係は正の正規モードを選択した後にのみ回復されるか、あるいは量子化の前に解けることによって回復される。 スカラー分割作用は、正確な二次プロパゲーターとガウスの進化を与える。 補助座標上の形式的トレースは、最終的に高温カルデイラ-レゲット力学と比較され、二重モデルが顕微鏡貯水池理論ではなくコヒーレントゼロノイズ埋め込みであることを明らかにした。

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