論文の概要: Amenable groups with nearly exponential sofic profile, and quantum channels that need nearly linear memory

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.04271v1
• Date: Sat, 03 Oct 2026 03:51:04 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-10-12 12:01:23.481541
• Title: Amenable groups with nearly exponential sofic profile, and quantum channels that need nearly linear memory
• Title（参考訳）: ほぼ指数関数的なソフィックプロファイルを持つアメナブル群と、ニアリニアメモリを必要とする量子チャネル
• Abstract要約: グループは点灯ではなく、ランプが配置されている灯台である。 Groupは、$mathbb C873$に明示的な量子チャネルを提供する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: How far from finite can an amenable group be? Every finite piece of an amenable group can be imitated by permutations of a finite set, and Cornulier's sofic profile counts how many points such an imitation needs at accuracy $1/r$. We build a finitely presented elementary amenable group with a finite piece whose profile is $\exp(r^{1+o(1)})$, close to the most our counting method can ever detect. The construction is a lamplighter with its lamps on configurations rather than on points. Houghton's group moves the points of three rays, finitely supported affine maps act on their binary configurations, and a copy of $S_3$ sits on every configuration. Then $N$ points carry $2^N$ lamps, yet any two lamps can be brought together by moves that each involve at most three points. The group embeds in Brin's group $3V$, so $3V$ too has a finite piece of nearly exponential profile. The group also gives an explicit quantum channel on $\mathbb C^{873}$ that is cheap to use once and expensive to use many times. A device that applies it $n$ times, releasing each output before the next input arrives, needs about $n/B$ qubits of memory when it may spend $B$ bits of purity, and exact devices achieve this up to polylogarithmic factors. With exchange at the optimal rate, the least memory is about $\sqrt n$, attained with purity of the same order. The channel is factorizable and lies in the closure of channels with finite maximally mixed baths, yet any such bath that imitates it to accuracy $u$ needs dimension $\exp(u^{-1+o(1)})$, although its minimal Stinespring dilation implements it exactly with a pure environment of dimension $130$. The engine is a one-round theorem: after a single use, the memory of any such device carries an approximate representation of the group.
• Abstract（参考訳）: 可換群はどのくらい有限か? 可換群のすべての有限部分は有限集合の置換によって模倣することができ、コルヌリエのソフィックプロファイルはそのような模倣が精度1/r$で必要となる点数を数える。 我々は、プロファイルが $\exp(r^{1+o(1)})$ である有限個の部分を持つ有限表現された基本可換群を構築する。 建設は灯台で、点灯ではなく照明が配置されている。 ホートン群は3つの光線の点を移動し、有限に支持されたアフィン写像はそれらのバイナリ構成に作用し、すべての構成に$S_3$のコピーが座る。 すると、N$ポイントは2^N$ランプを運ぶが、2つのランプは1つ1つが3点の移動でまとめられる。 この群はBrin の群 3V$ に埋め込まれているので、$3V$ も有限の指数プロファイルを持つ。 グループはまた、$\mathbb C^{873}$で明示的な量子チャネルも提供している。 次の入力が到着する前に、それを$n$回適用し、各出力を解放するデバイスは、$B$の純度に費やすと、約$n/B$ qubitsのメモリを必要とする。 最適なレートでの交換では、最小メモリは約$\sqrt n$であり、同じ順序の純度で達成される。 チャネルは分解可能であり、有限の極大混合浴を持つチャネルの閉鎖中にあるが、u$を精度で模倣する浴槽は、$\exp(u^{-1+o(1)})$である。 エンジンは1ラウンドの定理であり、単一の使用の後、そのような装置のメモリは群を近似的に表現する。

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