論文の概要: Quantum codes in the Lee metric
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.04834v1
- Date: Sun, 04 Oct 2026 00:38:20 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-10-10 02:36:53.414645
- Title: Quantum codes in the Lee metric
- Title（参考訳）: リー計量における量子符号
- Abstract要約: 我々は、任意の$q$に対して$mathbbZ_q$以上の安定化符号に対して、$X$-および$Z$-components of errorに対して、ジョイントとLeeメトリクスを用いて定式化する。
クリフォードゲートの下でリーウェイト拡散を議論し、グレイ写像を介して$mathbbZ_4$ の量子化符号を議論し、2倍の非クリフォードゲートを持つ符号を求める。
n$ qudits 上の量子 CSS Lee-LDPC 符号に対して、Lee 距離が$O(n)$を超えないことを証明する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 4.165079933084116
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: We introduce a quantum coding framework for discrete small-shift noise, in which errors on qudits are modeled as low-weight $X$- and $Z$-type Pauli shifts, analogous to small phase-space displacements in continuous-variable systems. This structure is approximately respected by nuclear-spin noise and captured by the Lee metric, motivating a quantum extension of classical Lee-metric coding theory. We develop such a formalism for stabilizer codes over $\mathbb{Z}_q$ for arbitrary $q$, using joint and separate Lee metrics for the $X$- and $Z$-components of errors. For qubits, the joint metric counts $Y$ errors twice and can yield codes that detect and correct $X$ and $Z$ errors with fewer physical qubits than codes designed for the conventional Hamming metric. We discuss Lee-weight spreading under Clifford gates and qubitize codes over $\mathbb{Z}_4$ via the Gray map, finding codes with two-fold transversal non-qubit-Clifford gates. For quantum CSS Lee-LDPC codes on $n$ qudits, we prove that the Lee distance cannot exceed $O(n)$, uniformly in $q$, demonstrating an unexpected obstruction to using the large internal Hilbert space of a large-$q$ qudit to make high-Lee-distance codes. Under local Metropolis dynamics, certain classical $q$-ary ``helical repetition codes'' have exponentially long memory times at fixed temperature for sufficiently large $q$ (that grows with system length), which can be understood as spontaneous symmetry breaking at finite temperature, even in local one-dimensional models. Hypergraph products of these helical repetition codes provide local two-dimensional quantum codes that inherit self-correction for $Z$ errors, but self-correction for $X$ errors remains an open question.
- Abstract（参考訳）: 離散小シフト雑音に対する量子符号化フレームワークを導入し、連続変数系における小さな位相空間変位に類似した低ウェイトな$X$-および$Z$タイプのPauliシフトをモデル化する。
この構造は核スピンノイズにほぼ尊敬されており、リー計量によって捉えられ、古典的なリー計量符号理論の量子拡張を動機付けている。
我々は、任意の$q$に対して$\mathbb{Z}_q$に対して$\mathbb{Z}_q$上の安定化符号に対して、$X$-と$Z$-components of errorに対してジョイントとLeeメトリクスを用いて、そのような形式を開発する。
量子ビットの場合、ジョイントメトリックは2回にわたってY$エラーをカウントし、従来のハミング計量のために設計されたコードよりも物理量子ビットが少ない$X$と$Z$エラーを検出して修正するコードを生成する。
クリフォードゲートの下でのリー級拡散とグレイ写像による$\mathbb{Z}_4$上の量子化符号を議論し、2倍の非クリフォードゲートを持つ符号を求める。
n$ qudits 上の量子 CSS Lee-LDPC 符号に対しては、Lee 距離が$O(n)$ を超えないことを証明する。
局所メトロポリス力学の下では、一部の古典的な$q$-ary ``helical repetition codes' は、十分大きな$q$(系長で成長する)に対して、一定温度で指数関数的に長いメモリ時間を持つ。
これらのヘリカル反復符号のハイパーグラフ積は、Z$エラーの自己補正を継承する局所的な2次元量子符号を提供するが、X$エラーの自己補正は未解決の問題である。
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