論文の概要: On Function-Correcting Codes in the Lee Metric
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2507.17654v2
- Date: Thu, 23 Oct 2025 11:18:27 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-10-25 03:08:08.715799
- Title: On Function-Correcting Codes in the Lee Metric
- Title（参考訳）: リー計量における関数補正符号について
- Authors: Gyanendra K. Verma, Abhay Kumar Singh,
- Abstract要約: リー計量の下で、任意の正の整数 $mgeq 2$ に対して $mathbbZ_m 上の関数訂正符号を研究する。
我々はリー計量の$mathbbZ_4 上の符号に対して、Liu と Liu [6] によって確立された境界を $mathbbZ_m$ のより一般的な設定に拡張する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.4898659895355355
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Function-correcting codes are a coding framework designed to minimize redundancy while ensuring that specific functions or computations of encoded data can be reliably recovered, even in the presence of errors. The choice of metric is crucial in designing such codes, as it determines which computations must be protected and how errors are measured and corrected. Previous work by Liu and Liu [6] studied function-correcting codes over $\mathbb{Z}_{2^l},\ l\geq 2$ using the homogeneous metric, which coincides with the Lee metric over $\mathbb{Z}_4$. In this paper, we extend the study to codes over $\mathbb{Z}_m,$ for any positive integer $m\geq 2$ under the Lee metric and aim to determine their optimal redundancy. To achieve this, we introduce irregular Lee distance codes and derive upper and lower bounds on the optimal redundancy by characterizing the shortest possible length of such codes. These general bounds are then simplified and applied to specific classes of functions, including Lee-local functions, Lee weight functions, and Lee weight distribution functions. We extend the bounds established by Liu and Liu [6] for codes over $\mathbb{Z}_4$ in the Lee metric to the more general setting of $\mathbb{Z}_m$. Additionally, we explicitly derive a Plotkin-like bound for linear function-correcting codes in the Lee metric. As the Lee metric coincides with the Hamming metric over the binary field, we demonstrate that our bound naturally reduces to a Plotkin-type bound for function-correcting codes under the Hamming metric over $\mathbb{Z}_2$. Furthermore, when the underlying function is bijective, function-correcting codes reduce to classical error-correcting codes. In parallel, our bound correspondingly reduces to the classical Plotkin bound for error-correcting codes, both for the Lee metric over $\mathbb{Z}_m$ and for the Hamming metric over $\mathbb{Z}_2$.
- Abstract（参考訳）: 関数訂正コードは冗長性を最小限に抑えるために設計されたコーディングフレームワークであり、符号化されたデータの特定の関数や計算が、エラーがあっても確実に復元可能であることを保証している。
メトリクスの選択は、どの計算を守らなければならないか、どのようにエラーを計測し、修正するかを決定するため、そのようなコードの設計に不可欠である。
Liu と Liu [6] による以前の研究は、$\mathbb{Z}_{2^l},\ l\geq 2$ 上の関数訂正符号を同質な計量を用いて研究した。
本稿では、リー計量の下で任意の正の整数 $m\geq 2$ に対して $\mathbb{Z}_m,$ 以上の符号に研究を拡張し、それらの最適冗長性を決定することを目的とする。
これを実現するために、不規則なリー距離符号を導入し、これらの符号の最も短い長さを特徴付けることにより、最適冗長性上の上下境界を導出する。
これらの一般境界は、リー局所函数、リー重み関数、リー重み分布関数を含む特定の関数のクラスに単純化され適用される。
我々はリー計量の$\mathbb{Z}_4$を$\mathbb{Z}_m$というより一般的な設定に拡張する。
さらに、リー計量における線形関数補正符号に対するプロトキン様境界を明示的に導出する。
リー計量は二項体上のハミング計量と一致するので、我々の有界はハミング計量$\mathbb{Z}_2$の関数修正符号に対するプロトキン型境界に自然に減少する。
さらに、基礎となる関数が単射である場合、関数訂正符号は古典的な誤り訂正符号に還元される。
平行して、我々の境界は、$\mathbb{Z}_m$ 上のリー計量と $\mathbb{Z}_2$ 上のハミング計量の両方において、誤り訂正符号に対する古典的なプロトキン境界に減少する。
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