論文の概要: Energy-Guided Learning for Heat Equation with Noisy Source: Optimal Estimation and Generalization Bounds

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.15111v1
• Date: Sat, 10 Oct 2026 18:35:03 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-10-20 02:31:29.949058
• Title: Energy-Guided Learning for Heat Equation with Noisy Source: Optimal Estimation and Generalization Bounds
• Title（参考訳）: 雑音源による熱方程式のエネルギー誘導学習:最適推定と一般化境界
• Abstract要約: 有限サンプルデータからノイズ源関数を持つ熱方程式の学習解の統計的推定と一般化特性を特徴付ける。 解析の結果,線形放物型PDEの学習は,静的楕円問題とは対照的に,空間的正則性と時間的正則性の間に固有の異方性を示すことが明らかとなった。 具体的には,時間的サンプリング,空間分解能,解の滑らかさの相互作用を明示的に捉えた非漸近的速度-最適推定誤差と一般化誤差を導出する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 26.842099394407157
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Data and the governing partial differential equations (PDEs) of continuous-time dynamical systems provide rich structure for statistical learning. A central challenge is how to integrate data with PDE constraints in a principled way to improve generalization. In this paper, we characterize the statistical estimation and generalization properties of learning solutions to the heat equation with a noisy source function from finite, randomly sampled data. We first derive a novel variational formulation, which we characterize as the minimizer of loss function for an energy regularized and ellipticity debiased Sobolev regression. By formulating the learning task as a supervised problem over space-time domains under physically meaningful norms, our approach goes beyond the traditional supervised learning framework by effectively leveraging \emph{auxiliary data}---samples of the source function of the heat equation---to design a \emph{physics-informed energy regularization}. Our analysis reveals that learning in linear parabolic PDEs exhibits intrinsic anisotropy between spatial and temporal regularity, in sharp contrast to the static elliptic problems, leading to fundamentally different estimation and generalization behaviors. Specifically, we derive non-asymptotically rate-optimal estimation errors, as well as generalization error, which explicitly capture the interplay among temporal sampling, spatial resolution, and solution smoothness. Our numerical experiments demonstrate substantial orders of magnitude of reduction in testing errors against various physics-informed neural network methods on various parabolic and hyperbolic PDEs.
• Abstract（参考訳）: 連続時間力学系のデータと制御偏微分方程式(PDE)は、統計学習のための豊富な構造を提供する。 中心的な課題は、一般化を改善するための原則化された方法で、データをPDE制約と統合する方法である。 本稿では,有限サンプルデータからノイズ源関数を持つ熱方程式に対する学習解の統計的推定と一般化特性を特徴付ける。 まず、エネルギー正規化および楕円性脱バイアスソボレフ回帰に対する損失関数の最小化を特徴付ける新しい変分式を導出する。 物理的に有意なノルムの下での時空領域上の教師付き問題として学習タスクを定式化することにより、我々のアプローチは従来の教師付き学習フレームワークを超えて、熱方程式の源関数のサンプルである「emph{auxiliary data}--------------------------------------------emph{physics-informed energy regularization} を設計する。 解析の結果,線形放物型PDEの学習は,静的楕円問題とは対照的に,空間的正則性と時間的正則性の間に固有の異方性を示し,推定と一般化の挙動が根本的に異なることが明らかとなった。 具体的には,時間的サンプリング,空間分解能,解の滑らかさの相互作用を明示的に捉えた非漸近的速度-最適推定誤差と一般化誤差を導出する。 数値実験により、様々なパラボリックおよび双曲型PDE上での様々な物理インフォームドニューラルネットワーク法に対するテスト誤差の大幅な削減が示されている。

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