論文の概要: Degeneracy graph determinants and higher-dimensional Young diagrams

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.20368v1
• Date: Wed, 14 Oct 2026 15:41:04 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-10-15 21:06:16.225432
• Title: Degeneracy graph determinants and higher-dimensional Young diagrams
• Title（参考訳）: 退化グラフ行列と高次元ヤング図形
• Abstract要約: 基底特性は、プロジェクターベースでこれらの単項の値の行列の非消滅行列式と等価であることを示す。 行列式の指数は、グラフのノードに付随する高次元ヤング図形の重複体積であることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Kemp and Ramgoolam proposed a basis of monomials for a commutative semisimple algebra with generators \(C_1,\ldots, C_L\), constructed from a degeneracy graph which records how the eigenspaces of \( C_1\) are successively split by \( C_2,\ldots, C_L\). They showed that the basis property is equivalent to the non-vanishing of the determinant of the matrix of values of these monomials on the projector basis, and conjectured a factorised formula for this determinant, as a product of powers of eigenvalue differences. We prove this formula for any number of generators. The proof uses graph analogues of Newton polynomials. Their evaluation matrix is not triangular in general, but expanding the rows of the children of each node of the penultimate layer in a Newton basis of their eigenvalues makes it block triangular, with diagonal blocks given by smaller degeneracy graphs in which the final layer is removed. The formula then follows by induction on the number of layers. We show that the exponents in the determinant are overlap volumes of higher-dimensional Young diagrams attached to the nodes of the graph: intervals, ordinary Young diagrams, plane partitions and their higher analogues. Finally, the block triangular structure gives an explicit recursive inversion of the evaluation matrix, expressing the projectors in the monomial basis.
• Abstract（参考訳）: Kemp と Ramgoolam は、生成元 \(C_1,\ldots, C_L\) を持つ可換半単純代数の単項基底を提案した。 彼らは、基底特性が、これらの単項の値の行列行列の行列式をプロジェクターベースで無効にすることと等価であることを示し、この行列式を固有値差の積として予想した。 任意の数個の発電機に対してこの公式を証明します。 この証明はニュートン多項式のグラフ類似体を用いる。 それらの評価行列は一般に三角形ではないが、ニュートンの固有値に基づいて各ノードの各ノードの行を拡大することで、最終層が取り除かれたより小さな縮退グラフによって与えられる対角ブロックをブロックする。 式はその後、層数による帰納によって従う。 行列式の指数は、グラフのノードに付随する高次元ヤング図形の重なりの体積、つまり区間、通常のヤング図形、平面分割、およびそれらの高次アナログであることを示す。 最後に、ブロック三角構造は評価行列の明示的な再帰的逆転を与え、単項基底でプロジェクターを表現する。

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