論文の概要: Iterative construction of $\mathfrak{S}_p \times \mathfrak{S}_p$ group-adapted irreducible matrix units for the walled Brauer algebra
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2509.17698v1
- Date: Mon, 22 Sep 2025 12:34:50 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-09-23 18:58:16.378852
- Title: Iterative construction of $\mathfrak{S}_p \times \mathfrak{S}_p$ group-adapted irreducible matrix units for the walled Brauer algebra
- Title（参考訳）: $\mathfrak{S}_p \times \mathfrak{S}_p$群適応既約行列の反復構成
- Authors: Michał Horodecki, Michał Studziński, Marek Mozrzymas,
- Abstract要約: 本稿では部分転置置換作用素の代数の表現論のアルゴリズム的扱いについて述べる。
代数内で既約行列ユニットを構築するための明示的で完全に開発されたフレームワークを提供する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.5735035463793009
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: In this work, we present an algorithmic treatment of the representation theory of the algebra of partially transposed permutation operators, denoted by $\mathcal{A}^d_{p,p}$, which is a matrix representation of the abstract walled Brauer algebra. We provide an explicit and fully developed framework for constructing irreducible matrix units within the algebra. In contrast to the established earlier Gelfand-Tsetlin type constructions, the presented matrix units are adapted to the action of the subalgebra $\mathbb{C}[\mathfrak{S}_p] \times \mathbb{C}[\mathfrak{S}_p]$, where $\mathfrak{S}_p$ is the symmetric group. What is more, the basis is constructed in such a way that it produces the decomposition of the algebra into a direct sum of ideals, in contrast to its nested structure considered before. The decomposition of this kind has not been considered before in full generality. Our method reveals a recursive scheme for generating irreducible matrix units in all ideals of $\mathcal{A}^d_{p,p}$, offering a systematic approach that applies to small system sizes and arbitrary local dimensions. We apply the developed formalism to the algebra $\mathcal{A}^d_{2,2}$ and illustrate the algorithm in practice. In addition, using the constructed basis, we proved a novel contraction theorem for the elements from $\mathcal{A}^d_{3,3}$, which is the starting point for further investigations.
- Abstract（参考訳）: 本研究では,部分転置置換作用素の代数の表現論を,抽象壁付きブラウアー代数の行列表現である $\mathcal{A}^d_{p,p}$ で表現するアルゴリズム的処理を提案する。
代数内で既約行列ユニットを構築するための明示的で完全に開発されたフレームワークを提供する。
Gelfand-Tsetlin型の構成とは対照的に、提示された行列単位は部分代数 $\mathbb{C}[\mathfrak{S}_p] \times \mathbb{C}[\mathfrak{S}_p]$ の作用に適応する。
さらに、基底は、前述したネスト構造とは対照的に、代数のイデアルの直和への分解を生み出すような方法で構築される。
この種の分解は、完全な一般性において以前には考えられていなかった。
本手法は,小システムサイズと任意の局所次元に適用可能な体系的アプローチを提供する,$\mathcal{A}^d_{p,p}$のすべてのイデアルにおいて既約行列単位を生成するための再帰的スキームを明らかにする。
発達した形式を代数学 $\mathcal{A}^d_{2,2}$ に適用し、実際にアルゴリズムを説明する。
さらに、構築された基底を用いて、$\mathcal{A}^d_{3,3}$の要素に対する新しい縮約定理を証明し、さらなる研究の出発点とした。
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