論文の概要: Convex Equilibrium Potentials for Monge--Ampère: Curvature Bounds and A Posteriori Evaluation
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.31386v2
- Date: Fri, 23 Oct 2026 14:56:42 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-10-27 01:38:06.239994
- Title: Convex Equilibrium Potentials for Monge--Ampère: Curvature Bounds and A Posteriori Evaluation
- Title（参考訳）: Mongeの凸平衡ポテンシャル--Ampère:曲率境界と後部評価
- Abstract要約: 我々は,モンジェ=アンペア方程式に適合する凸クラスである収縮係数$q1$の平衡ニューラルネットワークについて検討した。
我々は、Hessianが直接推定の$(1-q)-3$ではなく、少なくとも$(1-q)-2$のように成長することを示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Equilibrium neural networks define their hidden state as the fixed point of a contraction, so their effective depth is set at evaluation time rather than by the architecture. Using them for fully nonlinear PDEs raises two issues that explicit networks avoid: second derivatives may grow with the effective depth, and the potential is only ever evaluated approximately. We study nonnegative softplus equilibrium networks with contraction factor $q<1$, a convex class suited to the Monge--Ampère equation. A positivity cancellation in the resolvent shows that the Hessian grows at most like $(1-q)^{-2}$, rather than the $(1-q)^{-3}$ of a direct estimate, and an explicit one-neuron family shows that this exponent is sharp; third derivatives satisfy a sharp $(1-q)^{-3}$ bound. Residual-based a posteriori estimates then control the state, its input derivatives and, in two dimensions, the Hessian determinant at an approximate equilibrium. Combined with interval arithmetic on complete covers of the domain, they yield rigorous uniform bounds on the Monge--Ampère residual and, through a comparison argument, on the solution error of a fixed trained network. On two manufactured Dirichlet problems on the unit disk, all six trained models are certified with residual below $0.25$ and boundary error below $0.01$. Adaptive stopping halves float64 evaluation time at best, whereas certified adaptive evaluation remains costlier than fixed depth.
- Abstract（参考訳）: 平衡ニューラルネットワークは、隠れた状態を収縮の固定点として定義するので、その効果的な深さはアーキテクチャよりも評価時に設定される。
完全に非線形なPDEに使用すると、明示的なネットワークが避ける2つの問題が発生する: 2番目の導関数は有効深さで成長し、ポテンシャルはおよそ評価される。
モンジェ=アンペール方程式に適合する凸クラスである収縮係数$q<1$の非負のソフトプラス平衡ネットワークについて検討する。
分解剤の正のキャンセルにより、Hessianは直接推定の(1-q)^{-3}$ではなく、少なくとも$(1-q)^{-2}$のように成長し、明示的な一ニューロン族は、この指数が鋭いことを示し、第三の微分は、鋭い(1-q)^{-3}$境界を満たす。
残差に基づく後続推定は、状態、入力微分、および2次元において、ヘッセン行列式を近似平衡で制御する。
領域の完全被覆上の区間算術と組み合わさって、モンジュ=アンペール残差の厳密な一様境界と、固定された訓練されたネットワークの解誤差に関する比較論により得られる。
ユニットディスク上の2つの製造されたディリクレ問題では、6つの訓練されたモデル全てが0.25ドル以下の残差と0.01ドル以下の境界誤差で認証される。
アダプティブ・ストップ・ハーフ(Adaptive Stop halves)float64 評価時間は高いが、アダプティブ・アダプティブ・アダプティブ・アダプティブ・アセスメントは固定深度よりも高価である。
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