論文の概要: An algebraic characterisation of $n$-qubit pure-state invariants
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2610.36076v1
- Date: Mon, 26 Oct 2026 18:03:29 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-10-28 21:04:31.395499
- Title: An algebraic characterisation of $n$-qubit pure-state invariants
- Title（参考訳）: n$-qubit純状態不変量の代数的特徴付け
- Abstract要約: 我々は、$n$-qubit純量子状態の集合について研究し、具体的には、Bloch表現の密度行列としてそれらの発芽を考える。
先行研究に基づいて、パウリ予想値における二次関数の族を定義し、状態に依存しない純粋性制約をもたらす全てのインスタンスを完全に特徴づける。
結果として生じる純粋状態不変量の族は驚くほど構造に富み、シンプレクティック極空間の幾何学と強く結びついている。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: We study the set of $n$-qubit pure quantum states. Specifically, we consider their incarnation as density matrices in Bloch representation. Building on prior work, we define a family of quadratic functions in Pauli expectation values, and fully characterise all instances that result in state-independent purity constraints. The resulting family of pure-state invariants is surprisingly rich in structure, with strong ties to the geometry of symplectic polar spaces. After charting the general landscape, we define a sub-family of pure-state invariants that satisfies the dynamical constraint of being stable under state update. We prove that it corresponds with (different embeddings of) symplectic Lie algebras $\mathfrak{sp}(2^{n-1})\subset\mathfrak{su}(2^n)$, which admit a generating set of Pauli operators. We carefully distinguish the symplectic case from its orthogonal counterpart, using the Arf invariant of quadratic refinements of the symplectic form on the projective Pauli group, which we further identify with quaternionic structures on $\mathbb{C}^{2^n}$ that are both generated by and restricted to Pauli operators. As a consequence of this analysis, we reveal previously largely overlooked structure in the $n$-qubit Pauli group. We highlight this in a number of examples. We characterise all state-independent uncertainty relations in variance for Pauli observables, as well as all Pauli channels for which the output fidelity and output purity are state-independent. We further show that the orbits of the projective stabiliser groups of pure-state invariants, which for $n\geq2$ are proper subgroups of the Clifford group, form complex projective state $2$-designs, while their unitary lifts form symplectic $2$-designs.
- Abstract（参考訳）: 我々は、$n$-qubit純量子状態の集合を研究する。
具体的には,Bloch表現における密度行列として,それらの具現化を考察する。
先行研究に基づいて、パウリ予想値における二次関数の族を定義し、状態に依存しない純粋性制約をもたらす全てのインスタンスを完全に特徴づける。
結果として生じる純粋状態不変量の族は驚くほど構造に富み、シンプレクティック極空間の幾何学と強く結びついている。
一般的なランドスケープを図解した後、状態更新の下で安定であるという動的制約を満たす純粋状態不変量のサブファミリーを定義する。
シンプレクティックリー代数 $\mathfrak{sp}(2^{n-1})\subset\mathfrak{su}(2^n)$ に対応することを証明する。
シンプレクティックケースとその直交ケースとを、射影パウリ群上のシンプレクティックフォームの二次精製のArf不変量を用いて慎重に区別し、さらに、パウリ作用素によって生成され制限される$\mathbb{C}^{2^n}$上の四元構造と同定する。
この分析の結果、以前ほとんど見過ごされた構造を$n$-量子パウリ群で明らかにする。
これをいくつかの例で取り上げる。
我々は、パウリ観測可能量に対する分散における状態非依存の不確実性関係と、出力忠実度と出力純度が状態非依存である全てのパウリチャネルを特徴づける。
さらに、純状態不変量の射影安定化群の軌道($n\geq2$ はクリフォード群の固有部分群である)が複素射影状態(2$-designs)を形成するのに対し、ユニタリリフトはシンプレクティックな 2$-designs を形成することを示す。
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