論文の概要: Heat kernel and intrinsic Gaussian processes on manifolds

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2006.14266v1
• Date: Thu, 25 Jun 2020 09:17:40 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2022-11-17 04:25:34.937582
• Title: Heat kernel and intrinsic Gaussian processes on manifolds
• Title（参考訳）: 多様体上の熱核と固有ガウス過程
• Authors: Ke Ye, Mu Niu and Pokman Cheung
• Abstract要約: 固有ガウス過程において、ブラウン運動の遷移密度は $mathbb R2$ および $mathbb R3$ の部分多様体上で近似される。 熱核は指数写像を通してブラウン運動標本経路をシミュレートすることによって推定されるが、これは多様体の埋め込みに依存しない。 この方法で得られる結果は多様体の周囲空間に依存しない。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.2891210250935146
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: There is an increasing interest in the problem of nonparametric regression like Gaussian processes with predictors locating on manifold. Some recent researches developed intrinsic Gaussian processes by using the transition density of the Brownian motion on submanifolds of $\mathbb R^2$ and $\mathbb R^3$ to approximate the heat kernels. {However}, when the dimension of a manifold is bigger than two, the existing method struggled to get good estimation of the heat kernel. In this work, we propose an intrinsic approach of constructing the Gaussian process on \if more \fi general manifolds \if {\color{red} in the matrix Lie groups} \fi such as orthogonal groups, unitary groups, Stiefel manifolds and Grassmannian manifolds. The heat kernel is estimated by simulating Brownian motion sample paths via the exponential map, which does not depend on the embedding of the manifold. To be more precise, this intrinsic method has the following features: (i) it is effective for high dimensional manifolds; (ii) it is applicable to arbitrary manifolds; (iii) it does not require the global parametrisation or embedding which may introduce redundant parameters; (iv) results obtained by this method do not depend on the ambient space of the manifold. Based on this method, we propose the ball algorithm for arbitrary manifolds and the strip algorithm for manifolds with extra symmetries, which is both theoretically proven and numerically tested to be much more efficient than the ball algorithm. A regression example on the projective space of dimension eight is given in this work, which demonstrates that our intrinsic method for Gaussian process is practically effective in great generality.
• Abstract（参考訳）: ガウス過程のような非パラメトリック回帰の問題に対する関心が高まり、予測子は多様体上に位置する。 最近の研究は、熱核を近似するために$\mathbb r^2$ と $\mathbb r^3$ の部分多様体上のブラウン運動の遷移密度を用いて内在的ガウス過程を開発した。 実際、多様体の次元が 2 より大きいとき、既存の手法は熱核を適切に推定するのに苦労した。 本研究では、直交群、ユニタリ群、スティーフェル多様体、グラスマン多様体などの行列リー群 \fi における \if more \fi general manifolds \if {\color{red} 上のガウス過程を構成する固有のアプローチを提案する。 熱核は、多様体の埋め込みに依存しない指数写像を通してブラウン運動サンプルパスをシミュレートすることによって推定される。 より正確に言うと、この本質的な方法は以下の特徴を持っている。 (i)高次元多様体に対して有効である。 (ii)任意の多様体に適用できる。 三 冗長パラメータを導入することができる大域的パラメトリゼーション又は埋め込みを必要としないこと。 (iv)この方法により得られた結果は、多様体の周囲空間に依存しない。 この方法に基づいて,任意の多様体に対する球アルゴリズムと,余剰対称性を持つ多様体に対するストリップアルゴリズムを提案する。 この研究において、次元 8 の射影空間上の回帰例は、ガウス過程に対する我々の本質的方法が、大一般において事実上有効であることを示すものである。

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