論文の概要: Classical Dynamics from Self-Consistency Equations in Quantum Mechanics
-- Extended Version
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2009.04969v2
- Date: Thu, 7 Jan 2021 15:18:43 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-05-03 00:48:02.670530
- Title: Classical Dynamics from Self-Consistency Equations in Quantum Mechanics
-- Extended Version
- Title（参考訳）: 量子力学における自己整合方程式からの古典力学-拡張バージョン
- Authors: J.-B. Bru and W. de Siqueira Pedra
- Abstract要約: 我々は、ボナの非線形量子力学の一般化に対する新しい数学的アプローチを提案する。
自己整合性の中心的な役割を強調します。
いくつかの新しい数学的概念が紹介され、これはおそらくそれ自体が興味深い。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: During the last three decades, P. B\'{o}na has developed a non-linear
generalization of quantum mechanics, based on symplectic structures for normal
states and offering a general setting which is convenient to study the
emergence of macroscopic classical dynamics from microscopic quantum processes.
We propose here a new mathematical approach to Bona's one, with much brother
domain of applicability. It highlights the central role of self-consistency.
This leads to a mathematical framework in which the classical and quantum
worlds are naturally entangled. We build a Poisson bracket for the polynomial
functions on the hermitian weak$^{\ast }$ continuous functionals on any
$C^{\ast }$-algebra. This is reminiscent of a well-known construction for
finite-dimensional Lie algebras. We then restrict this Poisson bracket to
states of this $C^{\ast }$-algebra, by taking quotients with respect to Poisson
ideals. This leads to densely defined symmetric derivations on the commutative
$C^{\ast }$-algebras of real-valued functions on the set of states. Up to a
closure, these are proven to generate $C_{0}$-groups of contractions. As a
matter of fact, in general commutative $C^{\ast }$-algebras, even the
closableness of unbounded symmetric derivations is a non-trivial issue. Some
new mathematical concepts are introduced, which are possibly interesting by
themselves: the convex weak $^{\ast }$ G\^{a}teaux derivative, state-dependent
$C^{\ast }$-dynamical systems and the weak$^{\ast }$-Hausdorff hypertopology, a
new hypertopology used to prove, among other things, that convex weak$^{\ast
}$-compact sets generically have weak$^{\ast }$-dense extreme boundary in
infinite dimension. Our recent results on macroscopic dynamical properties of
lattice-fermion and quantum-spin systems with long-range, or mean-field,
interactions corroborate the relevance of the general approach we present here.
- Abstract（参考訳）: この30年間、p. b\'{o}naは、通常の状態のシンプレクティック構造に基づいて、量子力学の非線形一般化を開発し、超微視的量子過程からのマクロ古典力学の出現を研究するのに便利な一般的な設定を提供した。
ここでは、ボナのそれに対する新しい数学的アプローチを提案する。
自己整合の中心的な役割を強調します。
これにより、古典世界と量子世界が自然に絡み合う数学的枠組みが導かれる。
我々は、エルミート弱$^{\ast }$連続函数上の多項式函数に対して、任意の$C^{\ast }$-アルゲブラ上のポアソンブラケットを構築する。
これは有限次元リー代数のよく知られた構成を思い起こさせる。
次に、このポアソンブラケットを、ポアソンイデアルに関して商を取ることによって、この$c^{\ast }$-algebraの状態に制限する。
これにより、状態の集合上の実値関数の可換 $c^{\ast }$-代数上の密に定義された対称導出が得られる。
閉包まで、これらは収縮の$C_{0}$-群を生成することが証明される。
実際、一般の可換 $c^{\ast }$-algebras において、非有界対称導出の閉包性さえも非自明な問題である。
凸弱$^{\ast }$ G\^{a}teaux微分、状態依存$C^{\ast }$-dynamical systems and the weak$^{\ast }$-Hausdorff hypertopologyは、凸弱$^{\ast }$-compact setが一般に無限次元の弱$^{\ast }$-dense極端境界を持つことを証明するために使われる新しいハイパートポロジーである。
格子フェルミオンおよび平均場を持つ量子スピン系のマクロ力学特性に関する最近の研究成果は、我々が提示する一般的なアプローチの関連性を裏付けるものである。
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