論文の概要: From Three Dimensional Manifolds to Modular Tensor Categories
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2101.01674v4
- Date: Tue, 23 Aug 2022 14:06:00 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-04-17 20:00:50.586442
- Title: From Three Dimensional Manifolds to Modular Tensor Categories
- Title（参考訳）: 3次元多様体からモジュラーテンソルカテゴリへ
- Authors: Shawn X. Cui, Yang Qiu, Zhenghan Wang
- Abstract要約: Cho, Gang, Kim両氏は、トポロジと量子トポロジを結びつけるプログラムの概要を説明した。
すべてのモジュラーテンソル圏は3つの多様体とリー群から得られると推測されている。
我々は,このプログラムを数学的に研究し,そのようなプログラムの実現可能性に対する強力な支援を提供する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.7877961820015922
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Using M-theory in physics, Cho, Gang, and Kim (JHEP 2020, 115 (2020) )
recently outlined a program that connects two parallel subjects of three
dimensional manifolds, namely, geometric topology and quantum topology. They
suggest that classical topological invariants such as Chern-Simons invariants
of $\text{SL}(2,\mathbb{C})$-flat connections and adjoint Reidemeister torsions
of a three manifold can be packaged together to produce a $(2+1)$-topological
quantum field theory, which is essentially equivalent to a modular tensor
category. It is further conjectured that every modular tensor category can be
obtained from a three manifold and a semi-simple Lie group. In this paper, we
study this program mathematically, and provide strong support for the
feasibility of such a program. The program produces an algorithm to generate
the potential modular $T$-matrix and the quantum dimensions of a candidate
modular data. The modular $S$-matrix follows from essentially a trial-and-error
procedure. We find modular tensor categories that realize candidate modular
data constructed from Seifert fibered spaces and torus bundles over the circle
that reveal many subtleties in the program. We make a number of improvements to
the program based on our computations. Our main result is a mathematical
construction of a premodular category from each Seifert fibered space with
three singular fibers and a family of torus bundles over the circle with
Thurston SOL geometry. The premodular categories from Seifert fibered spaces
are related to Temperley-Lieb-Jones categories and the ones from torus bundles
over the circle are related to metaplectic categories. We conjecture that a
resulting premodular category is modular if and only if the three manifold is a
$\mathbb{Z}_2$-homology sphere and condensation of bosons in premodular
categories leads to either modular or super-modular categories.
- Abstract（参考訳）: 物理学におけるm-理論を用いて、cho, gang, kim (jhep 2020, 115 (2020)) は、3次元多様体の2つの平行な主題、すなわち幾何学トポロジーと量子トポロジーを接続するプログラムを概説した。
彼らは、チャーン・サイモンズ不変量の $\text{sl}(2,\mathbb{c})$-flat connection や 3つの多様体の随伴reidemeister torsions のような古典的な位相不変量は一緒にパッケージ化でき、本質的にモジュラーテンソル圏と同値である $(2+1)$-topological quantum field theory を生成することを示唆している。
さらに、すべてのモジュラーテンソル圏は3つの多様体と半単純リー群から得られると推測される。
本稿では,このプログラムを数学的に研究し,そのようなプログラムの実現可能性に対する強力な支援を提供する。
このプログラムは、潜在的モジュラー$T$行列と候補モジュラーデータの量子次元を生成するアルゴリズムを生成する。
モジュール式の$S$-matrixは基本的に試行錯誤手順に従う。
シーファートファイバー空間と円周上のトーラスバンドルから構築された候補モジュラーデータを実現するモジュラーテンソル圏が、プログラムの多くの微妙さを明らかにする。
私たちは計算に基づいてプログラムに多くの改善を加えました。
我々の主な結果は、サーストンSOL幾何を持つ円上の3つの特異ファイバーとトーラス束の族を持つセイファートファイバー空間からプレモジュラー圏の数学的構成である。
ゼーファートファイバー空間からの事前モジュラー圏はテンパーリー-リーブ-ジョーンズ圏と関連し、円上のトーラス束からの圏はメタプレクティック圏に関連する。
得られた前モジュラー圏がモジュラーであることと、3つの多様体が$\mathbb{Z}_2$-ホモロジー球面であり、前モジュラー圏におけるボソンの凝縮がモジュラー圏か超モジュラー圏となることを予想する。
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