論文の概要: Tukey Depths and Hamilton-Jacobi Differential Equations

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2104.01648v1
• Date: Sun, 4 Apr 2021 17:13:50 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2021-04-06 14:46:04.690204
• Title: Tukey Depths and Hamilton-Jacobi Differential Equations
• Title（参考訳）: タキー深さとハミルトン・ヤコビ微分方程式
• Authors: Martin Molina-Fructuoso and Ryan Murray
• Abstract要約: この研究は、ツキー深さとして知られるそのような基本的な統計測度を研究する。 我々は、第一次偏微分方程式の形式を取る関連する必要な条件を導出する。 場合によっては、ツキー深さが粘度溶液と等しいことを証明します。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.5229257192293197
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: The widespread application of modern machine learning has increased the need for robust statistical algorithms. This work studies one such fundamental statistical measure known as the Tukey depth. We study the problem in the continuum (population) limit. In particular, we derive the associated necessary conditions, which take the form of a first-order partial differential equation. We discuss the classical interpretation of this necessary condition as the viscosity solution of a Hamilton-Jacobi equation, but with a non-classical Hamiltonian with discontinuous dependence on the gradient at zero. We prove that this equation possesses a unique viscosity solution and that this solution always bounds the Tukey depth from below. In certain cases, we prove that the Tukey depth is equal to the viscosity solution, and we give some illustrations of standard numerical methods from the optimal control community which deal directly with the partial differential equation. We conclude by outlining several promising research directions both in terms of new numerical algorithms and theoretical challenges.
• Abstract（参考訳）: 現代の機械学習の広範な応用により、ロバストな統計アルゴリズムの必要性が増した。 この研究は、ツキー深さとして知られる基本的な統計測度を研究する。 我々はその問題を継続性(人口)の限界で研究する。 特に、一階偏微分方程式の形をとる関連する必要条件を導出する。 ハミルトン・ヤコビ方程式の粘性解としてこの必要条件の古典的解釈を論じるが、非古典的ハミルトン方程式は 0 の勾配に不連続な依存を持つ。 我々は、この方程式が一意の粘性解を持ち、この解が常に下からチューキー深さを束縛していることを証明する。 いくつかの場合において、タキー深さが粘度解に等しいことを証明し、偏微分方程式を直接扱う最適制御群から標準数値法の例を示す。 結論として,新しい数値アルゴリズムと理論的課題の両面で有望な研究方向を概説する。

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