論文の概要: From Classical to Quantum: Uniform Continuity Bounds on Entropies in Infinite Dimensions
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2104.02019v3
- Date: Tue, 19 Nov 2024 12:15:19 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2024-11-20 13:32:42.681095
- Title: From Classical to Quantum: Uniform Continuity Bounds on Entropies in Infinite Dimensions
- Title（参考訳）: 古典から量子へ:無限次元のエントロピー上の一様連続性境界
- Authors: Simon Becker, Nilanjana Datta, Michael G. Jabbour,
- Abstract要約: 無限状態空間上の古典的確率変数のエントロピーと無限次元系の量子状態に対する一様連続性境界を証明する。
この証明は、新しい平均制約されたファノ型不等式と確率変数の最大結合の概念に依存している。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 12.958449178903727
- License:
- Abstract: We prove a variety of new and refined uniform continuity bounds for entropies of both classical random variables on an infinite state space and of quantum states of infinite-dimensional systems. We obtain the first tight continuity estimate on the Shannon entropy of random variables with a countably infinite alphabet. The proof relies on a new mean-constrained Fano-type inequality and the notion of maximal coupling of random variables. We then employ this classical result to derive the first tight energy-constrained continuity bound for the von Neumann entropy of states of infinite-dimensional quantum systems, when the Hamiltonian is the number operator, which is arguably the most relevant Hamiltonian in the study of infinite-dimensional quantum systems in the context of quantum information theory. The above scheme works only for Shannon- and von Neumann entropies. Hence, to deal with more general entropies, e.g. $\alpha$-R\'enyi and $\alpha$-Tsallis entropies, with $\alpha \in (0,1)$, for which continuity bounds are known only for finite-dimensional systems, we develop a novel approximation scheme which relies on recent results on operator H\"older continuous functions and the equivalence of all Schatten norms in special spectral subspaces of the Hamiltonian. This approach is, as we show, motivated by continuity bounds for $\alpha$-R\'enyi and $\alpha$-Tsallis entropies of random variables that follow from the H\"older continuity of the entropy functionals. Bounds for $\alpha>1$ are provided, too. Finally, we settle an open problem on related approximation questions posed in the recent works by Shirokov on the so-called Finite-dimensional Approximation (FA) property.
- Abstract（参考訳）: 無限状態空間上の古典的確率変数と無限次元系の量子状態の両方のエントロピーに対して、新しいおよび洗練された一様連続性境界を証明した。
乱数変数のシャノンエントロピーにおいて、可算無限個のアルファベットを持つ最初の厳密連続性推定値を得る。
この証明は、新しい平均制約されたファノ型不等式と確率変数の最大結合の概念に依存している。
この古典的な結果を用いて、ハミルトニアンが数演算子であり、量子情報理論の文脈における無限次元量子系の研究においておそらく最も関係のあるハミルトニアンであるとき、無限次元量子系の状態のフォン・ノイマンエントロピーに束縛された最初の強エネルギー制約連続性(英語版)を導出する。
上記のスキームはシャノンとフォン・ノイマンのエントロピーにのみ作用する。
したがって、より一般的なエントロピーを扱うために、eg $\alpha$-R\enyi と $\alpha$-Tsallis entropies と $\alpha \in (0,1)$ は、有限次元のシステムでのみ知られているような連続性境界を持ち、作用素 H\"古い連続函数の最近の結果とハミルトンの特別なスペクトル部分空間におけるすべてのシャッテンノルムの同値性に依存する新しい近似スキームを開発する。
このアプローチが示すように、エントロピー汎函数の H より古い連続性から続く確率変数の$\alpha$-R\'enyi と $\alpha$-Tsallis エントロピーの連続性境界によって動機付けられる。
$\alpha>1$のバウンドも提供される。
最後に、シロコフの最近の研究で提起された関連する近似問題について、いわゆる有限次元近似(FA)特性について、開問題に着目する。
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