論文の概要: Algorithmic Randomness and Kolmogorov Complexity for Qubits
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2106.14280v1
- Date: Sun, 27 Jun 2021 16:52:56 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-03-24 23:27:40.458468
- Title: Algorithmic Randomness and Kolmogorov Complexity for Qubits
- Title（参考訳）: 量子ビットのアルゴリズム的ランダム性とコルモゴロフ複雑性
- Authors: Tejas Bhojraj
- Abstract要約: Nies and Scholz defined quantum Martin-L of randomness (q-MLR) for state ( qubitstrings)
量子ソロワランダム性の概念を定義し、純粋に線型代数的手法を用いてq-MLRと等価であることを示す。
大数の法則の量子アナログが量子シュノーラーランダム状態に対して成り立つことが示されている。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Nies and Scholz defined quantum Martin-L\"of randomness (q-MLR) for states
(infinite qubitstrings). We define a notion of quantum Solovay randomness and
show it to be equivalent to q-MLR using purely linear algebraic methods.
Quantum Schnorr randomness is then introduced. A quantum analogue of the law of
large numbers is shown to hold for quantum Schnorr random states. We introduce
quantum-K, ($QK$) a measure of the descriptive complexity of density matrices
using classical prefix-free Turing machines and show that the initial segments
of weak Solovay random and quantum Schnorr random states are incompressible in
the sense of $QK$. Several connections between Solovay randomness and $K$ carry
over to those between weak Solovay randomness and $QK$. We then define $QK_C$,
using computable measure machines and connect it to quantum Schnorr randomness.
We then explore a notion of `measuring' a state. We formalize how `measurement'
of a state induces a probability measure on the space of infinite bitstrings. A
state is `measurement random' ($mR$) if the measure induced by it, under any
computable basis, assigns probability one to the set of Martin-L\"of randoms.
I.e., measuring a $mR$ state produces a Martin-L\"of random bitstring almost
surely. While quantum-Martin-L\"of random states are $mR$, the converse fails:
there is a $mR$ state, $\rho$ which is not quantum-Martin-L\"of random. In
fact, something stronger is true. While $\rho$ is computable and can be easily
constructed, measuring it in any computable basis yields an arithmetically
random sequence with probability one. So, classical randomness can be generated
from a computable state which is not quantum random. We conclude by studying
the asymptotic von Neumann entropy of computable states.
- Abstract（参考訳）: nies と scholz は状態(無限量子弦)に対するランダム性(q-mlr)の量子マーティン・lを定義。
量子ソロワランダム性の概念を定義し、純粋線型代数的手法を用いてq-MLRと等価であることを示す。
量子シュノールランダム性が導入された。
大数の法則の量子アナログが量子シュノーラーランダム状態に対して成り立つことが示されている。
古典的なプレフィックスのないチューリングマシンを用いて密度行列の記述的複雑性を測る量子-K(QK$)を導入し、弱ソロワ乱数状態と量子シュノーラー乱数状態の初期セグメントが$QK$の意味で圧縮不能であることを示す。
solovayランダムネスと$k$の間のいくつかの接続は、弱いsolovayランダムネスと$qk$の間の接続に引き継がれる。
次に計算可能な測度マシンを用いて$QK_C$を定義し、量子シュノーラーランダムネスに接続する。
次に、状態の‘測定’という概念を探求する。
状態の'測定'が無限ビットストリングの空間上の確率測度をいかに誘導するかを形式化する。
ある状態が 'measurement random' (mr$) であるとは、それが引き起こす測度が、任意の計算可能な基礎の下で確率 1 をランダムの martin-l\" の集合に割り当てるときに言う。
つまり、$mr$の状態を測定すると、ほぼ確実にランダムビットストリングの martin-l\" を生成する。
ランダム状態の量子martin-l\" は $mr$ であるが、逆は失敗する: $mr$ 状態、$\rho$ があり、これはランダムな量子martin-l\" ではない。
実際、より強いものは真実である。
$\rho$ は計算可能で容易に構築できるが、計算可能な基底で測定すると確率 1 の算術的にランダムな列が得られる。
したがって、量子ランダムでない計算可能な状態から古典ランダム性を生成することができる。
我々は計算可能な状態の漸近フォン・ノイマンエントロピーを研究することで結論付ける。
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