論文の概要: Von Neumann Entropy and Quantum Algorithmic Randomness
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2412.18646v1
- Date: Tue, 24 Dec 2024 18:09:45 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2024-12-30 17:24:36.924415
- Title: Von Neumann Entropy and Quantum Algorithmic Randomness
- Title（参考訳）: フォン・ノイマンエントロピーと量子アルゴリズムのランダム性
- Authors: Tejas Bhojraj,
- Abstract要約: 状態 $rho=(rho_n)_n=1infty$ は、$rho_n$ が$n$量子ビット上の密度行列であるような列である。
密度行列のフォン・ノイマンエントロピー$H(d)$は、その固有値分布のシャノンエントロピーである。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
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- Abstract: A state $\rho=(\rho_n)_{n=1}^{\infty}$ is a sequence such that $\rho_n$ is a density matrix on $n$ qubits. It formalizes the notion of an infinite sequence of qubits. The von Neumann entropy $H(d)$ of a density matrix $d$ is the Shannon entropy of its eigenvalue distribution. We show: (1) If $\rho$ is a computable quantum Schnorr random state then $\lim_n [H(\rho_n )/n] = 1$. (2) We define quantum s-tests for $s\in [0,1]$, show that $\liminf_n [H(\rho_n)/n]\geq \{ s: \rho$ is covered by a quantum s-test $\}$ for computable $\rho$ and construct states where this inequality is an equality. (3) If $\exists c \exists^\infty n H(\rho_n)> n-c$ then $\rho$ is strong quantum random. Strong quantum randomness is a randomness notion which implies quantum Schnorr randomness relativized to any oracle. (4) A computable state $(\rho_n)_{n=1}^{\infty}$ is quantum Schnorr random iff the family of distributions of the $\rho_n$'s is uniformly integrable. We show that the implications in (1) and (3) are strict.
- Abstract（参考訳）: 状態 $\rho=(\rho_n)_{n=1}^{\infty}$ は、$\rho_n$ が $n$ qubits 上の密度行列であるような列である。
量子ビットの無限列の概念を定式化する。
密度行列のフォン・ノイマンエントロピー$H(d)$は、その固有値分布のシャノンエントロピーである。
1)$\rho$ が計算可能な量子シュノール乱状態であれば、$\lim_n [H(\rho_n )/n] = 1$ となる。
2)$s\in [0,1]$に対する量子s-テストを定義すると、$\liminf_n [H(\rho_n)/n]\geq \{ s: \rho$は計算可能な$\rho$に対して量子s-test $\}$でカバーされ、この不等式が等式である状態を構成することを示す。
(3) $\exists c \exists^\infty n H(\rho_n)> n-c$ ならば、$\rho$ は強い量子ランダムである。
強い量子ランダムネス(英: strong quantum randomness)とは、任意のオラクルに関連付けられた量子シュノーラーランダムネスを意味するランダムネスの概念である。
(4) 計算可能な状態 $(\rho_n)_{n=1}^{\infty}$ is quantum Schnorr random iff the family of distributions of $\rho_n$'s is uniformly integrable。
1) と(3) の含意は厳密であることを示す。
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