論文の概要: Holomorphic family of Dirac-Coulomb Hamiltonians in arbitrary dimension
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2107.03785v3
- Date: Tue, 5 Jul 2022 11:46:22 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-03-23 02:09:20.750497
- Title: Holomorphic family of Dirac-Coulomb Hamiltonians in arbitrary dimension
- Title（参考訳）: 任意の次元におけるディラック・クーロン・ハミルトニアンの正則族
- Authors: Jan Derezi\'nski and B{\l}a\.zej Ruba
- Abstract要約: D_omega,lambda:=beginbmatrix-fraclambda+omegax&-partial_x という形の半直線上の作用素について、質量のない 1-次元ディラック・クーロン・ハミルトン多様体について検討する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: We study massless 1-dimensional Dirac-Coulomb Hamiltonians, that is,
operators on the half-line of the form
$D_{\omega,\lambda}:=\begin{bmatrix}-\frac{\lambda+\omega}{x}&-\partial_x \\
\partial_x & -\frac{\lambda-\omega}{x}\end{bmatrix}$. We describe their closed
realizations in the sense of the Hilbert space $L^2(\mathbb R_+,\mathbb C^2)$,
allowing for complex values of the parameters $\lambda,\omega$. In physical
situations, $\lambda$ is proportional to the electric charge and $\omega$ is
related to the angular momentum. We focus on realizations of
$D_{\omega,\lambda}$ homogeneous of degree $-1$. They can be organized in a
single holomorphic family of closed operators parametrized by a certain
2-dimensional complex manifold. We describe the spectrum and the numerical
range of these realizations. We give an explicit formula for the integral
kernel of their resolvent in terms of Whittaker functions. We also describe
their stationary scattering theory, providing formulas for a natural pair of
diagonalizing operators and for the scattering operator. It is well-known that
$D_{\omega,\lambda}$ arise after separation of variables of the Dirac-Coulomb
operator in dimension 3. We give a simple argument why this is still true in
any dimension. Furthermore, we explain the relationship of spherically
symmetric Dirac operators with the Dirac operator on the sphere and its
eigenproblem. Our work is mainly motivated by a large literature devoted to
distinguished self-adjoint realizations of Dirac-Coulomb Hamiltonians. We show
that these realizations arise naturally if the holomorphy is taken as the
guiding principle. Furthermore, they are infrared attractive fixed points of
the scaling action. Beside applications in relativistic quantum mechanics,
Dirac-Coulomb Hamiltonians are argued to provide a natural setting for the
study of Whittaker (or, equivalently, confluent hypergeometric) functions.
- Abstract（参考訳）: d_{\omega,\lambda}:=\begin{bmatrix}-\frac{\lambda+\omega}{x}&-\partial_x \\ \partial_x & -\frac{\lambda-\omega}{x}\end{bmatrix}$ という形の半直線上の無質量1次元ディラック・クーロン・ハミルトニアンについて研究する。
ヒルベルト空間 $L^2(\mathbb R_+,\mathbb C^2)$ の意味においてそれらの閉実現を記述し、パラメータ $\lambda,\omega$ の複素値を可能にする。
物理的状況では、$\lambda$ は電荷に比例し、$\omega$ は角運動量に関係している。
我々は、$D_{\omega,\lambda}$次数 1$ の同質性の実現に焦点を当てる。
それらは、ある2次元複素多様体によってパラメトリ化された閉作用素の単一の正則族に構成できる。
これらの実現のスペクトルと数値範囲について述べる。
ウィテカー関数の項でそれらの分解子の積分核に対して明示的な公式を与える。
また、それらの定常散乱理論を記述し、自然対の対角作用素と散乱作用素に対する公式を提供する。
D_{\omega,\lambda}$は次元3のディラック・クーロン作用素の変数の分離後に生じることはよく知られている。
任意の次元においてこれがまだ真である理由を簡単な議論をする。
さらに,球対称ディラック作用素と球面上のディラック作用素との関係と固有プロブレムについて述べる。
我々の作品は、ディラック・クーロン・ハミルトニアンの際立った自己随伴的実現に焦点をあてた大文学に主に動機づけられている。
これらの実現は、ホモモルファスを導く原理とみなすと自然に起こることを示す。
さらに、それらはスケーリング動作の赤外線魅力的な固定点である。
相対論的量子力学の応用の他に、ディラック・クーロン・ハミルトン群はウィテカー函数の研究に自然条件を与えると論じられている。
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