論文の概要: Computational Complexity of the Ground State Energy Density Problem
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2107.05060v1
- Date: Sun, 11 Jul 2021 14:52:43 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-03-22 20:11:40.694366
- Title: Computational Complexity of the Ground State Energy Density Problem
- Title（参考訳）: 基底状態エネルギー密度問題の計算複雑性
- Authors: James D. Watson, Toby S. Cubitt
- Abstract要約: 本研究では, 局所ハミルトニアンの基底状態エネルギー密度を, 無限格子サイズの熱力学的極限の格子上に求める複雑さについて検討する。
2次元正方格子上の古典的、翻訳不変な近傍ハミルトン群に対して、$mathsfPmathsfNEEXPsubseteqmathsfEXPmathsfGSEDsubseteq MathsfEXPmathsfNEXP$, and for quantum Hamiltonians $mathsfPmathsfNEEXPsubseteqmathsfEXPmath。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We study the complexity of finding the ground state energy density of a local
Hamiltonian on a lattice in the thermodynamic limit of infinite lattice size.
We formulate this rigorously as a function problem, in which we request an
estimate of the ground state energy density to some specified precision; and as
an equivalent promise problem, $\mathsf{GSED}$, in which we ask whether the
ground state energy density is above or below specified thresholds.
The ground state energy density problem is unusual, in that it concerns a
single, fixed Hamiltonian in the thermodynamic limit, whose ground state energy
density is just some fixed, real number. The only input to the computational
problem is the precision to which to estimate this fixed real number,
corresponding to the ground state energy density. Hardness of this problem for
a complexity class therefore implies that the solutions to all problems in the
class are encoded in this single number (analogous to Chaitin's constant in
computability theory).
This captures computationally the type of question most commonly encountered
in condensed matter physics, which is typically concerned with the physical
properties of a single Hamiltonian in the thermodynamic limit. We show that for
classical, translationally invariant, nearest neighbour Hamiltonians on a 2D
square lattice,
$\mathsf{P}^{\mathsf{NEEXP}}\subseteq\mathsf{EXP}^{\mathsf{GSED}}\subseteq
\mathsf{EXP}^{\mathsf{NEXP}}$, and for quantum Hamiltonians
$\mathsf{P}^{\mathsf{NEEXP}}\subseteq\mathsf{EXP}^{\mathsf{GSED}}\subseteq
\mathsf{EXP}^{\mathsf{QMA}_{EXP}}$. With some technical caveats on the oracle
definitions, the $\mathsf{EXP}$ in some of these results can be strengthened to
$\mathsf{PSPACE}$. We also give analogous complexity bounds for the function
version of $\mathsf{GSED}$.
- Abstract（参考訳）: 無限格子サイズの熱力学的極限における格子上の局所ハミルトニアンの基底状態エネルギー密度を求める複雑さについて検討する。
我々はこれを関数問題として厳密に定式化し、そこでは基底状態エネルギー密度を特定の精度で推定し、等価な公約問題として$\mathsf{GSED}$として、基底状態エネルギー密度が指定されたしきい値以上であるかを問う。
基底状態エネルギー密度問題は、その基底状態エネルギー密度が一定の実数である熱力学の極限において、単一の固定ハミルトニアンに関係しているという点で珍しい。
計算問題に対する唯一の入力は、基底状態エネルギー密度に対応する固定実数を計算する精度である。
したがって、複雑性クラスに対するこの問題のハードネスは、クラス内のすべての問題の解がこの1つの数で符号化されることを意味する(計算可能性理論におけるChaitinの定数に類似している)。
これは、熱力学的極限における単一のハミルトニアンの物理的性質に通常関係する凝縮物物理学でよく見られる問題の一種である。
2次元正方格子上の古典的、翻訳的不変、最寄りのハミルトニアンに対しては、$\mathsf{p}^{\mathsf{neexp}}\subseteq\mathsf{exp}^{\mathsf{gsed}}\subseteq \mathsf{exp}^{\mathsf{nexp}}$、量子ハミルトンでは$\mathsf{p}^{\mathsf{neexp}}\subseteq\mathsf{exp}^{\mathsf{gsed}}\subseteq \mathsf{qma}_{exp}}$である。
oracleの定義に関する技術的な注意事項により、これらの結果のいくつかにおける$\mathsf{exp}$は$\mathsf{pspace}$に強化できる。
また、$\mathsf{gsed}$の関数バージョンに対する類似の複雑性境界を与える。
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