論文の概要: Slow Mixing of Quantum Gibbs Samplers

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2411.04300v2
• Date: Thu, 12 Dec 2024 16:51:32 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-12-13 17:00:38.843750
• Title: Slow Mixing of Quantum Gibbs Samplers
• Title（参考訳）: 量子ギブスサンプリング器のスローミキシング
• Authors: David Gamarnik, Bobak T. Kiani, Alexander Zlokapa,
• Abstract要約: 一般化されたボトルネック補題を用いて、これらのツールの量子一般化を示す。 この補題は、古典的なハミング距離に類似する距離の量子測度に焦点を当てるが、一意に量子原理に根ざしている。 ポアソン・ファインマン・カック法を用いて古典的な緩やかな混合結果を持ち上げる方法を示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 47.373245682678515
• License:
• Abstract: Preparing thermal (Gibbs) states is a common task in physics and computer science. Recent algorithms mimic cooling via system-bath coupling, where the cost is determined by mixing time, akin to classical Metropolis-like algorithms. However, few methods exist to demonstrate slow mixing in quantum systems, unlike the well-established classical tools for systems like the Ising model and constraint satisfaction problems. We present a quantum generalization of these tools through a generic bottleneck lemma that implies slow mixing in quantum systems. This lemma focuses on quantum measures of distance, analogous to the classical Hamming distance but rooted in uniquely quantum principles and quantified either through Bohr spectrum jumps or operator locality. Using our bottleneck lemma, we establish unconditional lower bounds on the mixing times of Gibbs samplers for several families of Hamiltonians at low temperatures. For classical Hamiltonians with mixing time lower bounds $T_\mathrm{mix} = \exp[\Omega(n^\alpha)]$, we prove that quantum Gibbs samplers also have $T_\mathrm{mix} = \exp[\Omega(n^\alpha)]$. This applies to models like random $K$-SAT instances and spin glasses. For stabilizer Hamiltonians, we provide a concise proof of exponential lower bounds $T_\mathrm{mix} = \exp[\Omega(n)]$ on mixing times of good $n$-qubit stabilizer codes at low constant temperature. Finally, we consider constant-degree classical Hamiltonians and show how to lift classical slow mixing results in the presence of a transverse field using Poisson Feynman-Kac techniques. We show generic results for models with linear free energy barriers, and we demonstrate that our techniques extend to models with sublinear free energy barriers by proving $T_\mathrm{mix} = \exp[n^{1/2-o(1)}]$ for the ferromagnetic 2D transverse field Ising model.
• Abstract（参考訳）: 熱状態(ギブズ)を準備することは物理学や計算機科学において一般的な課題である。 最近のアルゴリズムは、古典的なメトロポリスのようなアルゴリズムと同様に、時間混合によってコストが決定されるシステムバスカップリングによる冷却を模倣している。 しかし、イジングモデルや制約満足度問題のようなシステムのための確立された古典的なツールとは異なり、量子系における遅い混合を示す方法はほとんど存在しない。 我々はこれらのツールの量子一般化を、量子系における遅い混合を暗示する一般的なボトルネック補題を通して提示する。 この補題は、古典的なハミング距離に類似する距離の量子測度に焦点を当てるが、一意に量子原理に根ざし、ボーアスペクトルジャンプまたは作用素局所性を通じて定量化される。 ボトルネック補題を用いて、低温でハミルトニアンのいくつかの家系に対してギブス試料の混合時間に関する無条件下限を定めている。 T_\mathrm{mix} = \exp[\Omega(n^\alpha)]$ を混合する古典的ハミルトニアンに対しては、量子ギブスサンプリング器も$T_\mathrm{mix} = \exp[\Omega(n^\alpha)]$ を持つことを証明する。 これはランダムな$K$-SATインスタンスやスピングラスのようなモデルに適用できる。 安定化器ハミルトニアンに対しては、低い温度で良い$n$-qubit安定化器符号の混合時間について、指数的下界の簡潔な証明として$T_\mathrm{mix} = \exp[\Omega(n)]$を提供する。 最後に、定次古典ハミルトニアンを考察し、ポアソン・ファインマン・カック法(英語版)(Poisson Feynman-Kac technique)を用いた横場の存在下で古典的な緩やかな混合結果を持ち上げる方法を示す。 線形自由エネルギー障壁を持つモデルに対する一般的な結果を示し、強磁性2次元逆場イジングモデルに対して$T_\mathrm{mix} = \exp[n^{1/2-o(1)}]$を証明することにより、我々の手法が線形自由エネルギー障壁を持つモデルに拡張されることを実証する。

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