Fugu-MT 論文翻訳(概要): The Complexity of Translationally Invariant Problems beyond Ground State Energies

論文の概要: The Complexity of Translationally Invariant Problems beyond Ground State Energies

arxiv url: http://arxiv.org/abs/2012.12717v1
Date: Wed, 23 Dec 2020 14:44:57 GMT
ステータス: 処理完了
システム内更新日: 2023-04-19 19:49:51.373689
Title: The Complexity of Translationally Invariant Problems beyond Ground State Energies
Title（参考訳）: 基底状態エネルギーを超えた翻訳不変問題の複雑性
Authors: James D. Watson, Johannes Bausch, Sevag Gharibian
Abstract要約: 地元のハミルトンに関する3つの基本的な質問は、$mathsfQMA$-hard、$mathsfPmathsfQMA[log]$-hard、$mathsfQCMA$-hardである。我々は,APX-SIMとGSCONの両方の翻訳不変バージョンが難易度を保っていることを示す。
参考スコア（独自算出の注目度）: 6.445605125467574
License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
Abstract: It is known that three fundamental questions regarding local Hamiltonians -- approximating the ground state energy (the Local Hamiltonian problem), simulating local measurements on the ground space (APX-SIM), and deciding if the low energy space has an energy barrier (GSCON) -- are $\mathsf{QMA}$-hard, $\mathsf{P}^{\mathsf{QMA}[log]}$-hard and $\mathsf{QCMA}$-hard, respectively, meaning they are likely intractable even on a quantum computer. Yet while hardness for the Local Hamiltonian problem is known to hold even for translationally-invariant systems, it is not yet known whether APX-SIM and GSCON remain hard in such "simple" systems. In this work, we show that the translationally invariant versions of both APX-SIM and GSCON remain intractable, namely are $\mathsf{P}^{\mathsf{QMA}_{\mathsf{EXP}}}$- and $\mathsf{QCMA}_{\mathsf{EXP}}$-complete, respectively. Each of these results is attained by giving a respective generic "lifting theorem" for producing hardness results. For APX-SIM, for example, we give a framework for "lifting" any abstract local circuit-to-Hamiltonian mapping $H$ (satisfying mild assumptions) to hardness of APX-SIM on the family of Hamiltonians produced by $H$, while preserving the structural and geometric properties of $H$ (e.g. translation invariance, geometry, locality, etc). Each result also leverages counterintuitive properties of our constructions: for APX-SIM, we "compress" the answers to polynomially many parallel queries to a QMA oracle into a single qubit. For GSCON, we give a hardness construction robust against highly non-local unitaries, i.e. even if the adversary acts on all but one qudit in the system in each step.
Abstract（参考訳）: 地平線エネルギー(局所ハミルトン問題)の近似、地平線上の局所測定(APX-SIM)のシミュレーション、低エネルギー空間がエネルギー障壁(GSCON)を持つかどうかの決定という3つの基本的な質問は、$\mathsf{QMA}$-hard, $\mathsf{P}^{\mathsf{QMA}[log]}$-hardと$\mathsf{QCMA}$-hardである。しかし、局所ハミルトン問題に対する硬さは、翻訳的不変なシステムでも成り立つことが知られているが、APX-SIM と GSCON がそのような「単純な」システムでは困難であるかどうかはまだ分かっていない。本稿では、APX-SIM と GSCON の翻訳不変バージョンが、それぞれ$\mathsf{P}^{\mathsf{QMA}_{\mathsf{EXP}}}$-および$\mathsf{QCMA}_{\mathsf{EXP}}$-complete であることを示す。これらの結果のそれぞれは、硬度結果を生成するための「リフトング定理」をそれぞれ与えることで達成される。例えば、APX-SIM に対して、$H$ で生成されるハミルトニアンの族上の APX-SIM の硬さに対して、$H$ の構造的および幾何学的性質(例えば、変換不変性、幾何学的、局所性など)を保ちながら、抽象的な局所回路-ハミルトン写像を "リフト" する枠組みを与える。 apx-simでは、qma oracleに対する多項式的に多くの並列クエリに対する答えを1つのキュービットに「圧縮」します。 GSCON に対して、高度に非局所的なユニタリに対して頑健な構成を与える。

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