論文の概要: Topological Order, Quantum Codes and Quantum Computation on Fractal
Geometries
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2108.00018v2
- Date: Fri, 27 Aug 2021 03:49:51 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-03-20 08:49:03.366809
- Title: Topological Order, Quantum Codes and Quantum Computation on Fractal
Geometries
- Title（参考訳）: フラクタル幾何学上の位相次数、量子符号、量子計算
- Authors: Guanyu Zhu and Tomas Jochym-O'Connor and Arpit Dua
- Abstract要約: 我々は、$mathbbZ_N$ 位相順序が 2D に埋め込まれた任意のフラクタル上では生き残れないというノーゴー定理を証明する。
我々は,大域的および高形式的位相対称性への接続を利用して,フォールトトレラントな論理ゲートを構築する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We investigate topological order on fractal geometries embedded in $n$
dimensions. In particular, we diagnose the existence of the topological order
through the lens of quantum information and geometry, i.e., via its equivalence
to a quantum error-correcting code with a macroscopic code distance or the
presence of macroscopic systoles in systolic geometry. We first prove a no-go
theorem that $\mathbb{Z}_N$ topological order cannot survive on any fractal
embedded in 2D. For fractal lattice models embedded in 3D or higher spatial
dimensions, $\mathbb{Z}_N$ topological order survives if the boundaries of the
interior holes condense only loop or membrane excitations. Moreover, for a
class of models containing only loop or membrane excitations, and are hence
self-correcting on an $n$-dimensional manifold, we prove that topological order
survives on a large class of fractal geometries independent of the type of hole
boundaries. We further construct fault-tolerant logical gates using their
connection to global and higher-form topological symmetries. In particular, we
have discovered a logical CCZ gate corresponding to a global symmetry in a
class of fractal codes embedded in 3D with Hausdorff dimension asymptotically
approaching $D_H=2+\epsilon$ for arbitrarily small $\epsilon$, which hence only
requires a space-overhead $\Omega(d^{2+\epsilon})$ with $d$ being the code
distance. This in turn leads to the surprising discovery of certain exotic
gapped boundaries that only condense the combination of loop excitations and
gapped domain walls. We further obtain logical $\text{C}^{p}\text{Z}$ gates
with $p\le n-1$ on fractal codes embedded in $n$D. In particular, for the
logical $\text{C}^{n-1}\text{Z}$ in the $n^\text{th}$ level of Clifford
hierarchy, we can reduce the space overhead to $\Omega(d^{n-1+\epsilon})$.
Mathematically, our findings correspond to macroscopic relative systoles in
fractals.
- Abstract（参考訳）: n$次元に埋め込まれたフラクタル幾何学の位相次数について検討する。
特に、量子情報と幾何学のレンズを通して位相秩序の存在を診断する、すなわち、マクロな符号距離を持つ量子誤り訂正符号と等価性や、シストリック幾何学におけるマクロなシストルの存在を診断する。
まず、$\mathbb{Z}_N$ 位相順序が 2D に埋め込まれた任意のフラクタル上では生き残れないというノーゴー定理を証明する。
3次元またはそれ以上の空間次元に埋め込まれたフラクタル格子モデルに対し、$\mathbb{Z}_N$トポロジカル秩序は内部ホールの境界がループや膜励起のみを凝縮する場合に残る。
さらに、ループや膜励起のみを含み、従って$n$次元多様体上で自己補正されているモデルのクラスに対しては、トポロジカル次数は穴の境界のタイプによらず、大きな種類のフラクタルジオメトリに生存することを示す。
さらに,グローバルおよび高形式トポロジカル対称性への接続を利用して,フォールトトレラントな論理ゲートを構築する。
特に、3次元ハウスドルフ次元を持つフラクタル符号のクラスに埋め込まれた大域対称性に対応する論理CCZゲートが、任意に小さな$\epsilon$に対して$D_H=2+\epsilon$に近づき、従って、符号距離が$d$である空間オーバーヘッド$\Omega(d^{2+\epsilon})$のみを必要とする。
これにより、ループ励起とガッピングされたドメイン壁の組み合わせのみを凝縮する、あるエキゾチックなガッピング境界が驚くほど発見される。
さらに論理的な$\text{c}^{p}\text{z}$gatesを、$n$dに埋め込まれたフラクタルコードに対して$p\le n-1$で得る。
特に、クリフォード階層の$n^\text{th}$レベルにおける論理的な$\text{C}^{n-1}\text{Z}$に対して、空間オーバーヘッドを$\Omega(d^{n-1+\epsilon})$に減らすことができる。
数学的にはフラクタルのマクロ相対シストルに対応している。
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