論文の概要: Solving the Dirichlet problem for the Monge-Amp\`ere equation using neural networks

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2110.03310v1
• Date: Thu, 7 Oct 2021 10:00:05 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2021-10-08 15:53:43.639559
• Title: Solving the Dirichlet problem for the Monge-Amp\`ere equation using neural networks
• Title（参考訳）: ニューラルネットワークを用いたmonge-amp\`ere方程式のディリクレ問題の解法
• Authors: Kaj Nystr\"om, Matias Vestberg
• Abstract要約: 深部入力凸ニューラルネットワークを用いたアンザッツを用いて,モンジュ・アンペア方程式の凸一意解を求めることができることを示す。 解析の一環として、音源関数における特異点と雑音の影響について検討し、非自明な領域を考察し、この手法が高次元でどのように機能するかを考察する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: The Monge-Amp\`ere equation is a fully nonlinear partial differential equation (PDE) of fundamental importance in analysis, geometry and in the applied sciences. In this paper we solve the Dirichlet problem associated with the Monge-Amp\`ere equation using neural networks and we show that an ansatz using deep input convex neural networks can be used to find the unique convex solution. As part of our analysis we study the effect of singularities and noise in the source function, we consider nontrivial domains, and we investigate how the method performs in higher dimensions. We also compare this method to an alternative approach in which standard feed-forward networks are used together with a loss function which penalizes lack of convexity.
• Abstract（参考訳）: Monge-Amp\`ere 方程式は解析、幾何学、応用科学において基本的な重要性を持つ完全非線形偏微分方程式(PDE)である。 本稿では,ニューラルネットワークを用いたmonge-amp\`ere方程式に関連するディリクレ問題を解き,ディープ入力凸ニューラルネットワークを用いたansatzを用いて一意な凸解を求めることができることを示す。 解析の一環として、音源関数における特異点と雑音の影響について検討し、非自明な領域を考察し、この手法が高次元でどのように機能するかを考察する。 また,本手法を標準フィードフォワードネットワークと,凸性の欠如を罰する損失関数を併用した代替手法と比較した。

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