論文の概要: On NeuroSymbolic Solutions for PDEs

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2207.06240v1
• Date: Mon, 11 Jul 2022 16:04:20 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2022-07-14 12:50:47.301663
• Title: On NeuroSymbolic Solutions for PDEs
• Title（参考訳）: PDEのためのニューロシンボリック溶液について
• Authors: Ritam Majumdar, Vishal Jadhav, Anirudh Deodhar, Shirish Karande, Lovekesh Vig
• Abstract要約: 物理情報ニューラルネットワーク(PINN)は,PDEを数値的に解く代替手法として広く普及している。 本研究ではPDEの解を近似するためのNeuroSymbolicアプローチについて検討する。 ニューロシンボリック近似は、ニューロシンボリック近似とシンボリック近似に比較して、一貫して1-2次であることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 12.968529838140036
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/
• Abstract: Physics Informed Neural Networks (PINNs) have gained immense popularity as an alternate method for numerically solving PDEs. Despite their empirical success we are still building an understanding of the convergence properties of training on such constraints with gradient descent. It is known that, in the absence of an explicit inductive bias, Neural Networks can struggle to learn or approximate even simple and well known functions in a sample efficient manner. Thus the numerical approximation induced from few collocation points may not generalize over the entire domain. Meanwhile, a symbolic form can exhibit good generalization, with interpretability as a useful byproduct. However, symbolic approximations can struggle to simultaneously be concise and accurate. Therefore in this work we explore a NeuroSymbolic approach to approximate the solution for PDEs. We observe that our approach work for several simple cases. We illustrate the efficacy of our approach on Navier Stokes: Kovasznay flow where there are multiple physical quantities of interest governed with non-linear coupled PDE system. Domain splitting is now becoming a popular trick to help PINNs approximate complex functions. We observe that a NeuroSymbolic approach can help such complex functions as well. We demonstrate Domain-splitting assisted NeuroSymbolic approach on a temporally varying two-dimensional Burger's equation. Finally we consider the scenario where PINNs have to be solved for parameterized PDEs, for changing Initial-Boundary Conditions and changes in the coefficient of the PDEs. Hypernetworks have shown to hold promise to overcome these challenges. We show that one can design Hyper-NeuroSymbolic Networks which can combine the benefits of speed and increased accuracy. We observe that that the NeuroSymbolic approximations are consistently 1-2 order of magnitude better than just the neural or symbolic approximations.
• Abstract（参考訳）: 物理情報ニューラルネットワーク(PINN)はPDEを数値的に解く代替手法として広く普及している。 経験的な成功にもかかわらず、勾配降下を伴うこのような制約下でのトレーニングの収束特性の理解をまだ構築中です。 明示的な帰納バイアスがなければ、ニューラルネットワークはサンプルの効率的な方法でシンプルでよく知られた関数の学習や近似に苦労することが知られている。 したがって、わずかなコロケーション点から誘導される数値近似は、領域全体にわたって一般化できない。 一方、記号形式は優れた一般化を示し、解釈性は有用な副産物である。 しかし、記号近似は簡潔かつ正確であるのに苦労することがある。 そこで本研究では、PDEの解を近似するためのNeuroSymbolicアプローチについて検討する。 我々のアプローチはいくつかの単純なケースで有効である。 非線形結合型PDEシステムによって制御される複数の物理量を持つコヴァズネイ流れについて, ナヴィエストークスに対する我々のアプローチの有効性について述べる。 ドメイン分割は、PINNが複雑な関数を近似するのに役立つ一般的なトリックになりつつある。 我々は神経シンボリックアプローチがこのような複雑な機能にも役立つことを観察する。 時間的に変化する2次元バーガー方程式に対するドメイン分割支援ニューロシンボリックアプローチの実証を行った。 最後に,パラメータ化されたPDEに対してPINNを解決し,初期境界条件を変更し,PDEの係数を変化させるシナリオについて考察する。 Hypernetworksはこれらの課題を克服することを約束している。 速度の利点と精度の向上を両立できるHyper-NeuroSymbolic Networksを設計できることを示す。 ニューロシンボリック近似は、ニューロシンボリック近似やシンボリック近似よりも一貫して1-2等級の等級である。

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