論文の概要: Spline-PINN: Approaching PDEs without Data using Fast, Physics-Informed Hermite-Spline CNNs

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2109.07143v1
• Date: Wed, 15 Sep 2021 08:10:23 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2021-09-16 14:46:46.800863
• Title: Spline-PINN: Approaching PDEs without Data using Fast, Physics-Informed Hermite-Spline CNNs
• Title（参考訳）: Spline-PINN:高速・物理インフォームド・ハーマイト・スプラインCNNを用いたデータなしPDEへのアプローチ
• Authors: Nils Wandel, Michael Weinmann, Michael Neidlin, Reinhard Klein
• Abstract要約: 部分微分方程式 (Partial Differential Equations, PDE) は、解くのがとても難しい。 本稿では、最近登場した2つの機械学習ベースのアプローチの利点を組み合わせた新しい手法に基づいて、PDEのソリューションにアプローチすることを提案する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 4.560331122656578
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Partial Differential Equations (PDEs) are notoriously difficult to solve. In general, closed-form solutions are not available and numerical approximation schemes are computationally expensive. In this paper, we propose to approach the solution of PDEs based on a novel technique that combines the advantages of two recently emerging machine learning based approaches. First, physics-informed neural networks (PINNs) learn continuous solutions of PDEs and can be trained with little to no ground truth data. However, PINNs do not generalize well to unseen domains. Second, convolutional neural networks provide fast inference and generalize but either require large amounts of training data or a physics-constrained loss based on finite differences that can lead to inaccuracies and discretization artifacts. We leverage the advantages of both of these approaches by using Hermite spline kernels in order to continuously interpolate a grid-based state representation that can be handled by a CNN. This allows for training without any precomputed training data using a physics-informed loss function only and provides fast, continuous solutions that generalize to unseen domains. We demonstrate the potential of our method at the examples of the incompressible Navier-Stokes equation and the damped wave equation. Our models are able to learn several intriguing phenomena such as Karman vortex streets, the Magnus effect, Doppler effect, interference patterns and wave reflections. Our quantitative assessment and an interactive real-time demo show that we are narrowing the gap in accuracy of unsupervised ML based methods to industrial CFD solvers while being orders of magnitude faster.
• Abstract（参考訳）: 部分微分方程式(PDE)は解くのがとても難しい。 一般に、閉形式解は利用できず、数値近似スキームは計算コストが高い。 本稿では,最近登場した2つの機械学習手法の利点を組み合わせた新しい手法に基づいて,pdesの解法へのアプローチを提案する。 まず、物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)はPDEの連続的な解を学習し、基礎となる真理データをほとんど、あるいは全く含まないで訓練することができる。 しかし、PINNは見えない領域に対してうまく一般化しない。 第二に、畳み込みニューラルネットワークは高速な推論と一般化を提供するが、大量のトレーニングデータを必要とするか、不正確さや離散化成果物につながる可能性のある有限差分に基づく物理制約付き損失を必要とする。 我々はこれらの2つのアプローチの利点を、CNNで処理できるグリッドベースの状態表現を継続的に補間するために、Hermiteスプラインカーネルを使用することで活用する。 これにより、物理インフォームド損失関数のみを使用して事前計算されたトレーニングデータなしでトレーニングが可能となり、目に見えない領域に一般化する高速で連続的なソリューションが提供される。 非圧縮性ナビエ・ストークス方程式と減衰波方程式の例として本手法の可能性を示す。 私たちのモデルは、カルマン渦通り、マグヌス効果、ドップラー効果、干渉パターン、波の反射といった興味深い現象を学べます。 我々の定量的評価とインタラクティブなリアルタイムデモは、教師なしMLベースの手法の精度の差を産業用CFDソルバに狭め、桁違いに高速であることを示している。

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