論文の概要: Clifford Neural Layers for PDE Modeling
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2209.04934v1
- Date: Thu, 8 Sep 2022 17:35:30 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2022-09-13 12:51:44.702711
- Title: Clifford Neural Layers for PDE Modeling
- Title(参考訳): PDEモデリングのためのClifford Neural Layers
- Authors: Johannes Brandstetter, Rianne van den Berg, Max Welling, Jayesh K.
Gupta
- Abstract要約: 偏微分方程式 (Partial differential equation, PDE) は、物理過程のシミュレーションを、時間とともに相互作用し、共進化するスカラー場やベクトル場として記述するために、科学や工学で広く用いられる。
現在のメソッドは、しばしば相関する異なるフィールドと内部コンポーネントの関係を明示的に考慮していない。
本稿では, Clifford convolutions や Clifford Fourier transforms とともに, 深層学習におけるマルチベクトル表現の活用について述べる。
結果として生じるクリフォード神経層は普遍的に適用可能であり、流体力学、天気予報、一般の物理系のモデリングで直接使用される。
- 参考スコア(独自算出の注目度): 61.07764203014727
- License: http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/
- Abstract: Partial differential equations (PDEs) see widespread use in sciences and
engineering to describe simulation of physical processes as scalar and vector
fields interacting and coevolving over time. Due to the computationally
expensive nature of their standard solution methods, neural PDE surrogates have
become an active research topic to accelerate these simulations. However,
current methods do not explicitly take into account the relationship between
different fields and their internal components, which are often correlated.
Viewing the time evolution of such correlated fields through the lens of
multivector fields allows us to overcome these limitations. Multivector fields
consist of scalar, vector, as well as higher-order components, such as
bivectors and trivectors. Their algebraic properties, such as multiplication,
addition and other arithmetic operations can be described by Clifford algebras.
To our knowledge, this paper presents the first usage of such multivector
representations together with Clifford convolutions and Clifford Fourier
transforms in the context of deep learning. The resulting Clifford neural
layers are universally applicable and will find direct use in the areas of
fluid dynamics, weather forecasting, and the modeling of physical systems in
general. We empirically evaluate the benefit of Clifford neural layers by
replacing convolution and Fourier operations in common neural PDE surrogates by
their Clifford counterparts on two-dimensional Navier-Stokes and weather
modeling tasks, as well as three-dimensional Maxwell equations. Clifford neural
layers consistently improve generalization capabilities of the tested neural
PDE surrogates.
- Abstract(参考訳): 偏微分方程式 (Partial differential equation, PDE) は、物理過程のシミュレーションを時間とともに相互作用し、共進化するスカラー場やベクトル場として記述するために、科学や工学で広く用いられる。
標準的な解法では計算コストがかかるため、ニューラルPDEサロゲートはこれらのシミュレーションを加速するための活発な研究トピックとなっている。
しかし、現在の方法は、しばしば関連付けられる異なるフィールドとその内部コンポーネントの関係を明示的に考慮していない。
このような相関フィールドの時間発展をマルチベクトルフィールドのレンズを通して見ることで、これらの制限を克服することができる。
マルチベクター場はスカラー、ベクトル、およびビベクターやトライベクターのような高次成分から構成される。
乗法、加法、その他の算術演算などの代数的性質はクリフォード代数によって記述できる。
そこで本研究では, Clifford convolutions や Clifford Fourier transforms とともに, 深層学習におけるマルチベクトル表現の活用について述べる。
その結果得られるクリフォード神経層は普遍的に適用でき、流体力学、気象予報、物理系のモデリングといった分野において直接使用される。
本研究では,2次元navier-stokesおよび気象モデルタスクと3次元maxwell方程式のclifford法を用いて,共用神経pdeサロゲートの畳み込みとフーリエ演算を置き換えることで,クリフォード神経層の有用性を実証的に評価した。
クリフォード神経層は、試験されたニューラルPDEサロゲートの一般化能力を一貫して改善する。
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