論文の概要: The minimal canonical form of a tensor network
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2209.14358v1
- Date: Wed, 28 Sep 2022 18:41:00 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-01-24 19:17:35.420390
- Title: The minimal canonical form of a tensor network
- Title（参考訳）: テンソルネットワークの最小の正準形式
- Authors: Arturo Acuaviva and Visu Makam and Harold Nieuwboer and David
P\'erez-Garc\'ia and Friedrich Sittner and Michael Walter and Freek Witteveen
- Abstract要約: 任意の次元の射影絡み合ったペア状態(PEPS)に適用可能な,新しい正準形式,最小正準形式を導入する。
2つのテンソルが同じ極小正準形式を持つことを示し、それらが極限を取るためのゲージ同値である場合に限る。
これは、グリッド上のPEPSのよく知られた不決定性とは対照的に、後者の問題が決定可能であることを意味する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.9892861731663933
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Tensor networks have a gauge degree of freedom on the virtual degrees of
freedom that are contracted. A canonical form is a choice of fixing this degree
of freedom. For matrix product states, choosing a canonical form is a powerful
tool, both for theoretical and numerical purposes. On the other hand, for
tensor networks in dimension two or greater there is only limited understanding
of the gauge symmetry. Here we introduce a new canonical form, the minimal
canonical form, which applies to projected entangled pair states (PEPS) in any
dimension, and prove a corresponding fundamental theorem. Already for matrix
product states this gives a new canonical form, while in higher dimensions it
is the first rigorous definition of a canonical form valid for any choice of
tensor. We show that two tensors have the same minimal canonical forms if and
only if they are gauge equivalent up to taking limits; moreover, this is the
case if and only if they give the same quantum state for any geometry. In
particular, this implies that the latter problem is decidable - in contrast to
the well-known undecidability for PEPS on grids. We also provide rigorous
algorithms for computing minimal canonical forms. To achieve this we draw on
geometric invariant theory and recent progress in theoretical computer science
in non-commutative group optimization.
- Abstract（参考訳）: テンソルネットワークは、契約された仮想自由度に対してゲージ自由度を持つ。
正準形式は、この自由度を固定する選択である。
行列積状態の場合、正準形式を選択することは理論的目的と数値的目的の両方において強力なツールである。
一方、次元 2 以上のテンソルネットワークに対しては、ゲージ対称性の限定的な理解しか存在しない。
ここでは、任意の次元の射影絡み合ったペア状態(PEPS)に適用可能な、新しい正準形式である最小正準形式を導入し、対応する基本定理を証明する。
行列積に対して既にこれは新しい正準形式を与えるが、高次元ではテンソルの選択に有効な正準形式の最初の厳密な定義である。
2つのテンソルが同じ最小の正準形式を持つことは、それらが極限を取るためのゲージ同値であることと、それに加えて、それらが任意の幾何学に対して同じ量子状態を与える場合に限る。
特に、後者の問題は決定可能であり、グリッド上のPEPSのよく知られた不決定性とは対照的である。
最小の正準形式を計算するための厳密なアルゴリズムも提供しています。
これを達成するために、幾何学的不変理論と非可換群最適化における理論計算機科学の最近の進歩を論じる。
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