論文の概要: Wasserstein Archetypal Analysis

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2210.14298v1
• Date: Tue, 25 Oct 2022 19:50:09 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2022-10-27 13:46:09.360666
• Title: Wasserstein Archetypal Analysis
• Title（参考訳）: Wasserstein Archetypal Analysis
• Authors: Katy Craig, Braxton Osting, Dong Wang, and Yiming Xu
• Abstract要約: Archetypal Analysisは、凸ポリトープを用いてデータを要約する教師なし機械学習手法である。 We consider a alternative formulation of archetypal analysis based on the Wasserstein metric。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 9.54262011088777
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Archetypal analysis is an unsupervised machine learning method that summarizes data using a convex polytope. In its original formulation, for fixed k, the method finds a convex polytope with k vertices, called archetype points, such that the polytope is contained in the convex hull of the data and the mean squared Euclidean distance between the data and the polytope is minimal. In the present work, we consider an alternative formulation of archetypal analysis based on the Wasserstein metric, which we call Wasserstein archetypal analysis (WAA). In one dimension, there exists a unique solution of WAA and, in two dimensions, we prove existence of a solution, as long as the data distribution is absolutely continuous with respect to Lebesgue measure. We discuss obstacles to extending our result to higher dimensions and general data distributions. We then introduce an appropriate regularization of the problem, via a Renyi entropy, which allows us to obtain existence of solutions of the regularized problem for general data distributions, in arbitrary dimensions. We prove a consistency result for the regularized problem, ensuring that if the data are iid samples from a probability measure, then as the number of samples is increased, a subsequence of the archetype points converges to the archetype points for the limiting data distribution, almost surely. Finally, we develop and implement a gradient-based computational approach for the two-dimensional problem, based on the semi-discrete formulation of the Wasserstein metric. Our analysis is supported by detailed computational experiments.
• Abstract（参考訳）: Archetypal Analysisは、凸ポリトープを用いてデータを要約する教師なし機械学習手法である。 元の定式化では、固定 k に対して、データの凸包にポリトープが含まれ、データとポリトープの間の平均2乗ユークリッド距離が最小となるような、アーチタイプ点と呼ばれる k 個の頂点を持つ凸ポリトープを求める。 本稿では,wasserstein archetypal analysis(wasserstein archetypal analysis,waa)と呼ばれる,wasserstein計量に基づくアーチ型解析の代替定式化について検討する。 1次元では、WAAのユニークな解が存在し、2次元では、データ分布がルベーグ測度に関して絶対連続である限り、解の存在を証明します。 我々は、結果をより高い次元と一般的なデータ分布に拡張する障害について論じる。 次に,一般データ分布に対する正規化問題の解の存在を任意の次元で得るためのrenyiエントロピーを用いて,問題の適切な正則化を導入する。 正規化問題に対する一貫性を証明し、データが確率測度からiidサンプルである場合、サンプル数が増加すると、アーチタイプ点のサブシーケンスが制限データ分布のアーチタイプ点にほぼ確実に収束することを保証する。 最後に,ワッサースタイン計量の半離散的定式化に基づく2次元問題に対する勾配に基づく計算手法を開発し,実装する。 我々の分析は詳細な計算実験によって支えられている。

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