論文の概要: Data-driven discovery of Green's functions

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2210.16016v1
• Date: Fri, 28 Oct 2022 09:41:50 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2022-10-31 17:54:10.548082
• Title: Data-driven discovery of Green's functions
• Title（参考訳）: データ駆動によるグリーン関数の発見
• Authors: Nicolas Boull\'e
• Abstract要約: この論文は、線形偏微分方程式に関連するグリーン関数を学習するための理論的結果とディープラーニングアルゴリズムを導入している。 この構成は、PDE学習と数値線型代数の分野を結びつける。 レーショナルニューラルネットワーク(NN)は、トレーニング可能な有理活性化機能を持つニューラルネットワークによって導入され、構成されている。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Discovering hidden partial differential equations (PDEs) and operators from data is an important topic at the frontier between machine learning and numerical analysis. This doctoral thesis introduces theoretical results and deep learning algorithms to learn Green's functions associated with linear partial differential equations and rigorously justify PDE learning techniques. A theoretically rigorous algorithm is derived to obtain a learning rate, which characterizes the amount of training data needed to approximately learn Green's functions associated with elliptic PDEs. The construction connects the fields of PDE learning and numerical linear algebra by extending the randomized singular value decomposition to non-standard Gaussian vectors and Hilbert--Schmidt operators, and exploiting the low-rank hierarchical structure of Green's functions using hierarchical matrices. Rational neural networks (NNs) are introduced and consist of neural networks with trainable rational activation functions. The highly compositional structure of these networks, combined with rational approximation theory, implies that rational functions have higher approximation power than standard activation functions. In addition, rational NNs may have poles and take arbitrarily large values, which is ideal for approximating functions with singularities such as Green's functions. Finally, theoretical results on Green's functions and rational NNs are combined to design a human-understandable deep learning method for discovering Green's functions from data. This approach complements state-of-the-art PDE learning techniques, as a wide range of physics can be captured from the learned Green's functions such as dominant modes, symmetries, and singularity locations.
• Abstract（参考訳）: 隠れ偏微分方程式(PDE)とデータから演算子を発見することは、機械学習と数値解析のフロンティアにおける重要なトピックである。 この博士論文は理論結果とディープラーニングアルゴリズムを導入し、線形偏微分方程式に関連したグリーン関数を学習し、PDE学習技術を厳密に正当化する。 理論的に厳密なアルゴリズムが導出され、楕円型PDEに関連するグリーン関数をおよそ学習するために必要なトレーニングデータの量を特徴付ける学習率が得られる。 この構成は、ランダム化された特異値分解を非標準ガウスベクトルとヒルベルト・シュミット作用素に拡張し、階層行列を用いてグリーン関数の低ランク階層構造を利用することにより、pde学習と数値線形代数の場を繋ぐ。 有理ニューラルネットワーク(rational neural network, nns)は、学習可能な有理アクティベーション関数を備えたニューラルネットワークである。 これらのネットワークの高度に構成的な構造と有理近似理論は、有理関数が標準活性化関数よりも高い近似能力を持つことを意味する。 さらに、有理 nn は極を持ち、任意に大きい値を取ることができ、グリーン函数のような特異点を持つ函数を近似するのに理想的である。 最後に、グリーン関数と合理的NNの理論的結果を組み合わせて、グリーン関数をデータから発見するための人間の理解可能な深層学習法を設計する。 このアプローチは最先端のpde学習技術を補完するものであり、支配的モード、対称性、特異点位置といった学習されたグリーン関数から幅広い物理学を捉えることができる。

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