論文の概要: Machine-learning custom-made basis functions for partial differential equations

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2111.05307v1
• Date: Tue, 9 Nov 2021 18:24:23 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2021-11-10 16:21:26.462330
• Title: Machine-learning custom-made basis functions for partial differential equations
• Title（参考訳）: 偏微分方程式に対する機械学習のカスタムメイド基底関数
• Authors: Brek Meuris, Saad Qadeer, Panos Stinis
• Abstract要約: 本稿では,深層ニューラルネットワークとスペクトル法を組み合わせてPDEを解く手法を提案する。 我々はDeep Operator Network(DeepONet)と呼ばれるディープラーニング技術を用いて、PDEの解を拡張する候補関数を特定する。 我々は、カスタムメイドの基底関数の好ましい特性を利用して、それらの能力を研究し、それらを線形および非線形時間依存PDEの解の拡張に活用する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Spectral methods are an important part of scientific computing's arsenal for solving partial differential equations (PDEs). However, their applicability and effectiveness depend crucially on the choice of basis functions used to expand the solution of a PDE. The last decade has seen the emergence of deep learning as a strong contender in providing efficient representations of complex functions. In the current work, we present an approach for combining deep neural networks with spectral methods to solve PDEs. In particular, we use a deep learning technique known as the Deep Operator Network (DeepONet), to identify candidate functions on which to expand the solution of PDEs. We have devised an approach which uses the candidate functions provided by the DeepONet as a starting point to construct a set of functions which have the following properties: i) they constitute a basis, 2) they are orthonormal, and 3) they are hierarchical i.e., akin to Fourier series or orthogonal polynomials. We have exploited the favorable properties of our custom-made basis functions to both study their approximation capability and use them to expand the solution of linear and nonlinear time-dependent PDEs.
• Abstract（参考訳）: スペクトル法は偏微分方程式(PDE)を解くための科学計算の重要な部分である。 しかしながら、それらの適用性と有効性は、PDEの解を拡張するために使用される基底関数の選択に大きく依存する。 過去10年間、ディープラーニングの出現は、複雑な関数の効率的な表現を提供する強力な競争相手と見なされてきた。 本稿では,深層ニューラルネットワークとスペクトル法を組み合わせてPDEを解く手法を提案する。 特に,深層操作ネットワーク(deeponet)と呼ばれる深層学習手法を用いて,pdesの解の拡張を行う候補関数を同定する。 我々は,deeponet によって提供される候補関数を出発点として,次のような性質を持つ関数の集合を構成する手法を考案した。 2)正則であり、かつ 3)それらは階層的、すなわちフーリエ級数や直交多項式に似ている。 我々は,カスタムメイド基底関数の好適な性質を利用して近似能力の研究を行い,線形および非線形時間依存型pdesの解の拡張に用いた。

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