論文の概要: An explainable operator approximation framework under the guideline of Green's function

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2412.16644v1
• Date: Sat, 21 Dec 2024 14:31:03 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-12-24 15:56:08.681587
• Title: An explainable operator approximation framework under the guideline of Green's function
• Title（参考訳）: グリーン関数のガイドラインに基づく説明可能な演算子近似フレームワーク
• Authors: Jianghang Gu, Ling Wen, Yuntian Chen, Shiyi Chen,
• Abstract要約: 組込みグリーン関数を学習し,グリーンの積分定式化によるPDEを解決するための新しいフレームワークであるGreensONetを導入する。 フレームワークの精度と一般化能力は、既存の手法よりも優れている。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.1174586184779578
• License:
• Abstract: Traditional numerical methods, such as the finite element method and finite volume method, adress partial differential equations (PDEs) by discretizing them into algebraic equations and solving these iteratively. However, this process is often computationally expensive and time-consuming. An alternative approach involves transforming PDEs into integral equations and solving them using Green's functions, which provide analytical solutions. Nevertheless, deriving Green's functions analytically is a challenging and non-trivial task, particularly for complex systems. In this study, we introduce a novel framework, termed GreensONet, which is constructed based on the strucutre of deep operator networks (DeepONet) to learn embedded Green's functions and solve PDEs via Green's integral formulation. Specifically, the Trunk Net within GreensONet is designed to approximate the unknown Green's functions of the system, while the Branch Net are utilized to approximate the auxiliary gradients of the Green's function. These outputs are subsequently employed to perform surface integrals and volume integrals, incorporating user-defined boundary conditions and source terms, respectively. The effectiveness of the proposed framework is demonstrated on three types of PDEs in bounded domains: 3D heat conduction equations, reaction-diffusion equations, and Stokes equations. Comparative results in these cases demonstrate that GreenONet's accuracy and generalization ability surpass those of existing methods, including Physics-Informed Neural Networks (PINN), DeepONet, Physics-Informed DeepONet (PI-DeepONet), and Fourier Neural Operators (FNO).
• Abstract（参考訳）: 有限要素法や有限体積法のような伝統的な数値法では、アローム偏微分方程式 (Adress partial differential equation, PDEs) はそれらを代数方程式に分解し、これらを反復的に解く。 しかし、このプロセスは計算に高価で時間を要することが多い。 もう一つのアプローチは、PDEを積分方程式に変換し、解析解を提供するグリーン関数を用いてそれらを解くことである。 それでも、グリーンの函数を解析的に導出することは、特に複雑な系において、困難で非自明な問題である。 本研究では,組込みグリーンの関数を学習し,グリーンの積分定式化によってPDEを解くために,深層演算ネットワーク(DeepONet)の戦略に基づいて構築された新しいフレームワークであるGreensONetを紹介する。 具体的には、GreensONet内のTrunk Netはシステムの未知のグリーン関数を近似するために設計され、ブランチネットはグリーン関数の補助勾配を近似するために使用される。 これらの出力は、ユーザ定義境界条件とソース条件をそれぞれ組み込んで、サーフェス積分とボリューム積分を実行するために使用される。 提案手法の有効性は, 3次元熱伝導方程式, 反応拡散方程式, ストークス方程式の3種類の領域におけるPDEで示される。 これらのケースの比較結果は、GreenONetの精度と一般化能力が、物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)、DeepONet、物理インフォームドディープONet(PI-DeepONet)、フーリエニューラルオペレータ(FNO)など、既存の手法よりも優れていることを示している。

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