論文の概要: Recent Advances in Algebraic Geometry and Bayesian Statistics

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2211.10049v1
• Date: Fri, 18 Nov 2022 06:19:05 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2022-11-21 16:03:11.159066
• Title: Recent Advances in Algebraic Geometry and Bayesian Statistics
• Title（参考訳）: 代数幾何学とベイズ統計の最近の進歩
• Authors: Sumio Watanabe
• Abstract要約: 本稿では代数幾何学とベイズ統計学の研究分野における理論的進歩について概説する。 2つの数学的解法と代数幾何学に基づく統計学への3つの応用が、現在、データサイエンスと人工知能の多くの実践分野で使われている。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: This article is a review of theoretical advances in the research field of algebraic geometry and Bayesian statistics in the last two decades. Many statistical models and learning machines which contain hierarchical structures or latent variables are called nonidentifiable, because the map from a parameter to a statistical model is not one-to-one. In nonidentifiable models, both the likelihood function and the posterior distribution have singularities in general, hence it was difficult to analyze their statistical properties. However, from the end of the 20th century, new theory and methodology based on algebraic geometry have been established which enables us to investigate such models and machines in the real world. In this article, the following results in recent advances are reported. First, we explain the framework of Bayesian statistics and introduce a new perspective from the birational geometry. Second, two mathematical solutions are derived based on algebraic geometry. An appropriate parameter space can be found by a resolution map, which makes the posterior distribution be normal crossing and the log likelihood ratio function be well-defined. Third, three applications to statistics are introduced. The posterior distribution is represented by the renormalized form, the asymptotic free energy is derived, and the universal formula among the generalization loss, the cross validation, and the information criterion is established. Two mathematical solutions and three applications to statistics based on algebraic geometry reported in this article are now being used in many practical fields in data science and artificial intelligence.
• Abstract（参考訳）: 本稿では,過去20年間の代数幾何学とベイズ統計学の研究分野における理論的進歩を概観する。 階層構造や潜在変数を含む多くの統計モデルや学習機械は、パラメータから統計モデルへの写像が1対1ではないので、識別不能と呼ばれる。 同定不能なモデルでは、確率関数と後方分布の両方が一般に特異点を持つため、それらの統計特性の解析は困難であった。 しかし、20世紀末以降、代数幾何学に基づく新たな理論や方法論が確立され、現実世界におけるそのようなモデルや機械の研究が可能となった。 本稿では,最近の進歩における以下の結果について報告する。 まず,ベイズ統計の枠組みを説明し,双有理幾何学からの新しい視点を紹介する。 第二に、2つの数学的解は代数幾何学に基づいて導かれる。 適切なパラメータ空間は、後続分布を正規交叉とし、ログ度比関数をよく定義する分解能マップによって見つけることができる。 第3に、統計学への3つの応用を紹介する。 後方分布は再正規化形式で表され、漸近自由エネルギーが導出され、一般化損失、クロス検証、情報基準の普遍公式が確立される。 2つの数学的解法と代数幾何学に基づく統計学への3つの応用が、現在、データサイエンスと人工知能の多くの実践分野で使われている。

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