論文の概要: Physics-Informed Gaussian Process Regression Generalizes Linear PDE Solvers

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2212.12474v1
• Date: Fri, 23 Dec 2022 17:02:59 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2022-12-26 16:36:52.315059
• Title: Physics-Informed Gaussian Process Regression Generalizes Linear PDE Solvers
• Title（参考訳）: 物理インフォームドガウス過程回帰は線形PDE解を一般化する
• Authors: Marvin Pf\"ortner and Ingo Steinwart and Philipp Hennig and Jonathan Wenger
• Abstract要約: 線形偏微分方程式(英: Linear partial differential equations, PDEs)は、力学モデルの重要で広く応用されたクラスである。 実際には、離散化に基づく特殊数値法を用いてPDEを解く。 パラメータや測定の不確実性を無視することで、古典的なPDE解法は固有の近似誤差の一貫した推定を導出できない可能性がある。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 26.234236986804
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Linear partial differential equations (PDEs) are an important, widely applied class of mechanistic models, describing physical processes such as heat transfer, electromagnetism, and wave propagation. In practice, specialized numerical methods based on discretization are used to solve PDEs. They generally use an estimate of the unknown model parameters and, if available, physical measurements for initialization. Such solvers are often embedded into larger scientific models or analyses with a downstream application such that error quantification plays a key role. However, by entirely ignoring parameter and measurement uncertainty, classical PDE solvers may fail to produce consistent estimates of their inherent approximation error. In this work, we approach this problem in a principled fashion by interpreting solving linear PDEs as physics-informed Gaussian process (GP) regression. Our framework is based on a key generalization of a widely-applied theorem for conditioning GPs on a finite number of direct observations to observations made via an arbitrary bounded linear operator. Crucially, this probabilistic viewpoint allows to (1) quantify the inherent discretization error; (2) propagate uncertainty about the model parameters to the solution; and (3) condition on noisy measurements. Demonstrating the strength of this formulation, we prove that it strictly generalizes methods of weighted residuals, a central class of PDE solvers including collocation, finite volume, pseudospectral, and (generalized) Galerkin methods such as finite element and spectral methods. This class can thus be directly equipped with a structured error estimate and the capability to incorporate uncertain model parameters and observations. In summary, our results enable the seamless integration of mechanistic models as modular building blocks into probabilistic models.
• Abstract（参考訳）: 線形偏微分方程式(英: Linear partial differential equation, PDEs)は、熱伝達、電磁気、波動伝播などの物理過程を記述する重要な力学モデルのクラスである。 実際には、離散化に基づく特殊数値法を用いてPDEを解く。 一般に、未知のモデルパラメータの見積もりと、可能であれば初期化の物理的測定を用いる。 このような解法は、しばしばより大きな科学的モデルや下流のアプリケーションによる分析に埋め込まれ、誤りの定量化が重要な役割を果たす。 しかし、パラメータや測定の不確実性を完全に無視することで、古典的pdeソルバは固有近似誤差の一貫した推定を導出できない可能性がある。 本研究では、線形PDEを物理インフォームドガウス過程(GP)回帰として解釈することで、この問題を原理的にアプローチする。 我々の枠組みは、任意の有界線型作用素による観測に対する有限個の直接観測をgpsに条件付けるための広く適用された定理の鍵一般化に基づいている。 この確率論的視点は、(1)固有の離散化誤差の定量化、(2)モデルパラメータの不確かさを解に伝播させ、(3)ノイズ測定の条件を与える。 この定式化の強さを実証し、重み付け残差法、コロケーション、有限体積、擬スペクトル、および有限要素法やスペクトル法のような(一般化)ガレルキン法を含むPDEソルバの中心クラスを厳密に一般化することを証明する。 したがって、このクラスは構造化されたエラー推定と不確定なモデルパラメータと観測を組み込む能力を直接備えることができる。 まとめると、この結果により、モジュラービルディングブロックとしての機械モデルと確率モデルとのシームレスな統合が可能となる。

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