論文の概要: Quantum mechanics and quantum field theory. Algebraic and geometric
approaches
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2301.03804v1
- Date: Tue, 10 Jan 2023 06:13:10 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-01-11 18:04:35.772134
- Title: Quantum mechanics and quantum field theory. Algebraic and geometric
approaches
- Title（参考訳）: 量子力学と量子場理論。
代数的および幾何学的アプローチ
- Authors: Igor Frolov, Albert Schwarz
- Abstract要約: このテキストは、2022年の春にA. Schwarzが教えたコースの最初の10の講義に基づいている。
この定義から、同一粒子の概念は非常に自然である。
幾何学的アプローチは、量子力学とその一般化が古典理論とみなすことができることを示すために用いられる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: This is a non-standard exposition of main notions of quantum mechanics and
quantum field theory that also includes some recent results. It is based on
algebraic approach where the starting point is an associative algebra with
involution and states are defined as positive linear functionals on this
algebra and on geometric approach where the starting point is a set of states
considered as a convex subset of linear space. The exposition does not depend
on textbooks in quantum mechanics. Standard formulas for quantum probabilities
are derived from decoherence. This derivation allows us to go beyond quantum
theory in geometric approach. Particles are defined as elementary excitations
of ground state (and quasiparticles as elementary excitations of any
translation invariant state). It follows from this definition that the notion
of identical particles is very natural. The scattering of particles is analyzed
in the framework of generalization of Haag-Ruelle theory. The conventional
scattering matrix does not work for quasiparticles (and even for particles if
the theory does not have particle interpretation). The analysis of scattering
in these cases is based on the notion of inclusive scattering matrix, closely
related to inclusive cross-sections. It is proven that the conventional
scattering matrix can be expressed in terms of Green functions (LSZ formula)
anf inclusive scattering matrix can be expressed in terms of generalized Green
functions that appear in the Keldysh formalism of non-equilibrium statistical
physics. It is shown that generalized Green functions and inclusive scattering
matrices appear also in the formalism of L-functionals that can be identified
with positive functionals on Weyl or Clifford algebras. The derivation of the
expression of the evolution operator and other physical quantities in terms of
functional integrals is based on the notion of symbol of operator; these
arguments can be applied also in geometric approach. This result can be used,
in particular, to give a simple derivation of diagram technique for generalized
Green functions. The notion of inclusive scattering matrix makes sense in
geometric approach (but it seems that one cannot give a definition of
conventional scattering matrix in this situation). The geometric approach is
used to show that quantum mechanics and its generalizations can be considered
as classical theories where our devices are able to measure only a part of
observables. This text is based on first ten lectures of the course taught by
A. Schwarz in the Spring of 2022; see www.mathnet.ru for lectures (in Russian)
and slides (in English). Keywords: Inclusive scattering matrix; generalized
Green function, geometric approach
- Abstract（参考訳）: これは量子力学と量子場理論の主要な概念の非標準表現であり、近年の結果も含んでいる。
これは、開始点が畳み込みのある連想代数であり、状態がこの代数上の正の線型汎関数として定義される代数的アプローチと、開始点が線型空間の凸部分集合と見なされる状態の集合である幾何学的アプローチに基づいている。
展示は量子力学の教科書に依存しない。
量子確率の標準公式はデコヒーレンスから導かれる。
この導出により、幾何学的アプローチで量子論を超えることができる。
粒子は基底状態の初等励起として定義される(準粒子は任意の変換不変状態の初等励起として)。
この定義から、同一粒子の概念は非常に自然である。
粒子の散乱は、Hag-Ruelle理論の一般化の枠組みで解析される。
従来の散乱行列は準粒子に対しては機能しない(理論が素粒子解釈を持っていない場合は粒子に対しても)。
これらの場合の散乱の解析は包含的散乱行列の概念に基づいており、包含的断面積と密接に関連している。
従来の散乱行列は、非平衡統計物理学のケルディッシュ形式に現れる一般化されたグリーン関数を用いて、グリーン関数 (lsz公式) anf包括散乱行列を表現できることが証明されている。
一般化グリーン函数や包含散乱行列は、ワイル環やクリフォード環上の正の函数と同一視できるL-函数の形式論にも現れることが示されている。
函数積分の観点からの進化作用素とその他の物理量の表現の導出は作用素の記号の概念に基づいており、これらの議論は幾何学的アプローチにも適用することができる。
この結果は、特に、一般化されたグリーン関数に対するダイアグラム技法の簡単な導出を与えるために使うことができる。
包括的散乱行列の概念は幾何学的アプローチで理にかなっている(しかし、この状況では従来の散乱行列の定義を与えることはできないようである)。
幾何学的アプローチは、量子力学とその一般化が、我々のデバイスが観測可能な部分のみを測定できる古典理論として考えられることを示すために用いられる。
このテキストは、2022年の春にA. Schwarzが教えたコースの最初の10の講義に基づいており、講義(ロシア語)とスライド(英語)についてwww.mathnet.ruを参照。
キーワード:包含散乱行列、一般化グリーン関数、幾何学的アプローチ
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