論文の概要: Error Analysis of Kernel/GP Methods for Nonlinear and Parametric PDEs
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2305.04962v1
- Date: Mon, 8 May 2023 18:00:33 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-05-10 20:09:43.654506
- Title: Error Analysis of Kernel/GP Methods for Nonlinear and Parametric PDEs
- Title（参考訳）: 非線形およびパラメトリックPDEのためのカーネル/GP法の誤差解析
- Authors: Pau Batlle, Yifan Chen, Bamdad Hosseini, Houman Owhadi, Andrew M
Stuart
- Abstract要約: 非線形およびおそらくパラメトリックなPDEの解に対する事前ソボレフ空間誤差推定を導入する。
この証明は、カーネル補間子に対するソボレフ標準誤差推定について記述する。
誤差推定は、PDEの解空間が十分に滑らかであれば、次元差収束率を示す。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 16.089904161628258
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: We introduce a priori Sobolev-space error estimates for the solution of
nonlinear, and possibly parametric, PDEs using Gaussian process and kernel
based methods. The primary assumptions are: (1) a continuous embedding of the
reproducing kernel Hilbert space of the kernel into a Sobolev space of
sufficient regularity; and (2) the stability of the differential operator and
the solution map of the PDE between corresponding Sobolev spaces. The proof is
articulated around Sobolev norm error estimates for kernel interpolants and
relies on the minimizing norm property of the solution. The error estimates
demonstrate dimension-benign convergence rates if the solution space of the PDE
is smooth enough. We illustrate these points with applications to
high-dimensional nonlinear elliptic PDEs and parametric PDEs. Although some
recent machine learning methods have been presented as breaking the curse of
dimensionality in solving high-dimensional PDEs, our analysis suggests a more
nuanced picture: there is a trade-off between the regularity of the solution
and the presence of the curse of dimensionality. Therefore, our results are in
line with the understanding that the curse is absent when the solution is
regular enough.
- Abstract（参考訳）: ガウス過程とカーネルベースの手法を用いた非線形、あるいはパラメトリックなPDEの解に対する事前ソボレフ空間誤差推定を導入する。
第一の仮定は、(1) 核の再生核ヒルベルト空間を十分な正則性を持つソボレフ空間に連続的に埋め込み、(2) 微分作用素の安定性と対応するソボレフ空間の間のPDEの解写像である。
この証明は、カーネル補間子のソボレフ標準誤差推定(英語版)を中心に記述され、解のノルム特性の最小化に依存する。
誤差推定は、PDEの解空間が十分に滑らかであれば、次元差収束率を示す。
これらの点を高次元非線形楕円型pdesとパラメトリック型pdesに適用して説明する。
近年の機械学習手法では,高次元PDEの解法における次元の呪いを破ることが提案されているが,解析では,解の正則性と次元の呪いの存在との間にはトレードオフがあることが示唆されている。
したがって,この結果は解が十分正則である場合の呪いが欠如していることの理解と一致している。
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