論文の概要: Learning Partial Differential Equations by Spectral Approximates of General Sobolev Spaces

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2301.04887v1
• Date: Thu, 12 Jan 2023 09:04:32 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2023-01-13 15:40:09.324713
• Title: Learning Partial Differential Equations by Spectral Approximates of General Sobolev Spaces
• Title（参考訳）: 一般ソボレフ空間のスペクトル近似による部分微分方程式の学習
• Authors: Juan-Esteban Suarez Cardona, Phil-Alexander Hofmann and Michael Hecht
• Abstract要約: チェビシェフの観点で、一般ソボレフ空間のスペクトル、有限次元近似を導入する。 我々は、線形および非線形偏微分方程式の広大なクラスを解く変分定式化を見つける。 PINNとは対照的に、PSMは、すべての線形を含む多くのPDEに対して凸最適化問題をもたらす。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.45880283710344055
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We introduce a novel spectral, finite-dimensional approximation of general Sobolev spaces in terms of Chebyshev polynomials. Based on this polynomial surrogate model (PSM), we realise a variational formulation, solving a vast class of linear and non-linear partial differential equations (PDEs). The PSMs are as flexible as the physics-informed neural nets (PINNs) and provide an alternative for addressing inverse PDE problems, such as PDE-parameter inference. In contrast to PINNs, the PSMs result in a convex optimisation problem for a vast class of PDEs, including all linear ones, in which case the PSM-approximate is efficiently computable due to the exponential convergence rate of the underlying variational gradient descent. As a practical consequence prominent PDE problems were resolved by the PSMs without High Performance Computing (HPC) on a local machine. This gain in efficiency is complemented by an increase of approximation power, outperforming PINN alternatives in both accuracy and runtime. Beyond the empirical evidence we give here, the translation of classic PDE theory in terms of the Sobolev space approximates suggests the PSMs to be universally applicable to well-posed, regular forward and inverse PDE problems.
• Abstract（参考訳）: 一般ソボレフ空間の新しいスペクトル有限次元近似をチェビシェフ多項式を用いて導入する。 この多項式代理モデル(PSM)に基づき、線形および非線形偏微分方程式(PDE)の広大なクラスを解く変分定式化を実現する。 PSMは物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)と同じくらい柔軟であり、PDEパラメータ推論のような逆PDE問題に対処する代替手段を提供する。 PINN とは対照的に、PSM は、すべての線形を含む広い種類の PDE に対して凸最適化問題をもたらし、その場合、PSM-近似は、下層の変動勾配勾配の指数収束率によって効率的に計算可能である。 その結果、PDEの問題はローカルマシン上の高性能コンピューティング(HPC)を持たないPSMによって解決された。 この効率の向上は近似能力の向上によって補われ、精度と実行時間の両方でPINN代替よりも優れています。 ここでの実証的な証拠の他に、ソボレフ空間の近似による古典的な PDE 理論の翻訳は、PSM がよく考えられた正則前方および逆 PDE 問題に普遍的に適用可能であることを示唆している。

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